Диофантова пятёрка

Диофантова пятёрка — гипотетическое множество из пяти положительных целых чисел $\{a_1,\dots ,a_5\}$, обладающих тем свойством, что всякое число $a_i{a}_j+1$ является квадратом. По состоянию Шаблон:На вопрос о существовании таких пятёрок является открытой проблемой.

Диофант нашёл четвёрку рациональных чисел:

$\{\frac{1}{16},\frac{33}{16},\frac{17}{4},\frac{105}{16}\}$,

которые обладают этим свойством в рациональном смысле (то есть, всякое $a_i{a}_j+1$ является рациональным квадратом). Позже было найдено множество из шести рациональных чисел, обладающих заданным свойством.

Пьер Ферма обнаружил четвёрку целых положительных чисел — $\{1,3,8,120\}$, обладающую заданным свойством. Эйлер смог расширить это множество добавлением рационального числа:

$\frac{777480}{8288641}$,

но положительное целое, сохраняющее заданное свойство, не может быть добавлено к этой четвёрке, что было доказано в 1969 году Бейкером (Baker) и Дэвенпортом (Davenport).

В 2004 году хорватский математик Андрей Дуелла (Andrej Dujella) показал, что может существовать лишь конечное число диофантовых пятёрок.

Ссылки

• Страницы Андрея Дуеллы о диофантовых наборах Шаблон:Wayback