Дифракция на N щелях

Дифракция на двух щелях красного лазера

Дифракция на двух и пяти щелях

Распространение волны через щель шириною в длину волны.

Распространение волны через щель, превосходящую шириною длину волны в шесть раз.

Численное приближение дифракционной картины для щели шириной в четыре длины волны с падающей плоской волной. Видны центральный луч, нули, изменение фазы на $\pi$.

График и вид дифракции на одной щели.

Дифракция на N щелях — это частная задача оптики, где рассматривается дифракция на нескольких щелях в непроницаемом экране.

Рассмотрим сначала математическое представление принципа Гюйгенса:

$\mathrm{\Psi }=\underset{slit}{\int }\frac{i}{r\lambda }{\mathrm{\Psi }}^{\prime }{e}^{-ikr}dslit$

Рассмотрим N щелей в экране с равными ширинами (a, $\mathrm{\infty }$, 0) и расстояниями d между ними вдоль оси x′. Расстояние r от первой щели задаётся формулой:

$r=z{(1+\frac{{(x-x^{\prime })}^2+y^{\prime 2}}{z^2})}^{\frac{1}{2}}$

Для обобщения на N щелей, заметим, что z и y остаются постоянными, когда x′ сдвигается на

$x_{j=0\cdots n-1}^{\prime }=x_0^{\prime }-jd$

Таким образом,

$r_j=z{(1+\frac{{(x-x^{\prime }-jd)}^2+y^{\prime 2}}{z^2})}^{\frac{1}{2}}$

и сумма по всем N вкладам в амплитуду:

$\mathrm{\Psi }=\sum _{j=0}^{N-1}C\underset{-\frac{a}{2}}{\overset{\frac{a}{2}}{\int }}{e}^{\frac{ikx(x^{\prime }-jd)}{z}}{e}^{\frac{-ik{(x^{\prime }-jd)}^2}{2z}}d{x}^{\prime }$

Замечая, что величина $\frac{k{(x^{\prime }-jd)}^2}{z}$ мала при рассмотрении дифракции Фраунгофера, и $e^{\frac{-ik{(x^{\prime }-jd)}^2}{2z}}\approx 1$, получим:

$\mathrm{\Psi }$	$=C\sum _{j=0}^{N-1}\underset{-\frac{a}{2}}{\overset{\frac{a}{2}}{\int }}{e}^{\frac{ikx(x^{\prime }-jd)}{z}}d{x}^{\prime }$
	$=C\sum _{j=0}^{N-1}\frac{(e^{\frac{ikax}{2z}-\frac{ijkxd}{z}}-e^{\frac{-ikax}{2z}-\frac{ijkxd}{z}})}{\frac{2ikax}{2z}}$
	$=C\sum _{j=0}^{N-1}{e}^{\frac{ijkxd}{z}}\frac{(e^{\frac{ikax}{2z}}-e^{\frac{-ikax}{2z}})}{\frac{2ikax}{2z}}$
	$=C\frac{\sin \frac{ka\sin \theta }{2}}{\frac{ka\sin \theta }{2}}\sum _{j=1}^{N-1}{e}^{ijkd\sin \theta }$

Теперь используем следующее равенство:

$\sum _{j=0}^{N-1}{e}^{xj}=\frac{1-e^{Nx}}{1-e^x}.$

Подставляя в наше уравнение, приходим к выражению:

$\mathrm{\Psi }$	$=C\frac{\sin \frac{ka\sin \theta }{2}}{\frac{ka\sin \theta }{2}}\left(\frac{1-e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}\right)$
	$=C\frac{\sin \frac{ka\sin \theta }{2}}{\frac{ka\sin \theta }{2}}\left(\frac{e^{-iNkd\frac{\sin \theta }{2}}-e^{iNkd\frac{\sin \theta }{2}}}{e^{-ikd\frac{\sin \theta }{2}}-e^{ikd\frac{\sin \theta }{2}}}\right)\left(\frac{e^{iNkd\frac{\sin \theta }{2}}}{e^{ikd\frac{\sin \theta }{2}}}\right)$
	$=C\frac{\sin \frac{ka\sin \theta }{2}}{\frac{ka\sin \theta }{2}}\frac{\frac{e^{-iNkd\frac{\sin \theta }{2}}-e^{iNkd\frac{\sin \theta }{2}}}{2i}}{\frac{e^{-ikd\frac{\sin \theta }{2}}-e^{ikd\frac{\sin \theta }{2}}}{2i}}\left(e^{i(N-1)kd\frac{\sin \theta }{2}}\right)$
	$=C\frac{\sin \left(\frac{ka\sin \theta }{2}\right)}{\frac{ka\sin \theta }{2}}\frac{\sin \left(\frac{Nkd\sin \theta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{kd\sin \theta }{2}\right)}{e}^{i(N-1)kd\frac{\sin \theta }{2}}$

поставим k в виде $\frac{2\pi }{\lambda }$ и представляя все неосциллирующие постоянные как $I_0$, как в дифракции на одной щели. Помня $⟨e^{ix}|e^{ix}⟩=e^0=1$, получим для интенсивности света ответ:

$I\left(\theta \right)=I_0{[\mathrm{sinc}(\frac{\pi a}{\lambda }\sin \theta )]}^2\cdot {\left[\frac{\sin (\frac{N\pi d}{\lambda }\sin \theta )}{\sin (\frac{\pi d}{\lambda }\sin \theta )}\right]}^2$