Задача Архимеда о быках

Задача Архимеда о быках — трактат Архимеда (287—212 годы Шаблон:Донэ), в котором античный учёный поставил математическую задачу, полное решение которой было найдено лишь в 1965 году с использованием компьютерной техники.

Издание

«Задачу о быках» обнаружил Готхольд Эфраим Лессинг в греческой рукописи, состоящей из стихотворения в 44 строки, в библиотеке герцога Августа в Вольфенбюттеле в Германии. Текст задачи был опубликован в издании «Beiträge zur Geschichte und Litteratur» в Брауншвейге в 1773 году. Авторство Архимеда у антиковедов не вызывает сомнений, так как и по стилю, и по характеру трактат соответствует математическим эпиграммам той эпохи. Задача о быках авторства Архимеда упоминается в одном из античных схолиев к диалогу Платона «Хармид, или О благоразумии»Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Суть задачи

Архимед предлагает читателю найти количество быков бога Солнца Гелиоса при следующих условиях:

у Гелиоса имелось четыре стада, каждое из которых отличалось по цветуШаблон:Ref+
количество белых быков было равным $= (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})$ тёмных + рыжим быкамШаблон:Ref+
тёмных быков $= (\frac{1}{4} + \frac{1}{5})$ пёстрых + рыжим быкамШаблон:Ref+
пёстрых быков $= (\frac{1}{6} + \frac{1}{7})$ белых + рыжим быкамШаблон:Ref+
белых коров $= (\frac{1}{3} + \frac{1}{4})$ тёмного стадаШаблон:Ref+
тёмных коров $= (\frac{1}{4} + \frac{1}{5})$ пёстрого стадаШаблон:Ref+
пёстрых коров $= (\frac{1}{5} + \frac{1}{6})$ рыжего стадаШаблон:Ref+
рыжих коров $= (\frac{1}{6} + \frac{1}{7})$ белого стадаШаблон:Ref+

После этого Архимед предлагает найти количество быков и коров разного цвета, указывая, что тот у кого это получится не является невеждойШаблон:Sfn.

Вторая часть задачи включает дополнительные условия:

количество белых и тёмных быков — квадратное число
количество пёстрых и рыжих быков — треугольное число

Тот, кто сможет при этих условиях определить число голов скота в стадах Гелиоса, по мнению Архимеда, является мудрецомШаблон:Sfn.

Решение

Решение первой части задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Если обозначить количество быков соответствующего цвета символами Б, Т, П и Р, а коров — б, т, п и р, то первые уравнения можно отобразить следующим образомШаблон:Sfn:

Б $= (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})$ Т + Р → 6Б = 5Т + 6Р
Т $= (\frac{1}{4} + \frac{1}{5})$ П + Р → 20Т = 9П + 20Р
П $= (\frac{1}{6} + \frac{1}{7})$ Б + Р → 42П = 13Б + 42Р

Последовательно решая все семь уравнений будут получены следующие значения:

Общее количество голов скота у Гелиоса таким образом составляло Шаблон:Число Шаблон:Sfn.

Вторая часть задачи, то есть поиск решения, которое удовлетворяло бы условиям первой и второй части, сводится к уравнению Пелля. Её решение было опубликовано в 1880 годуШаблон:Sfn. Общее количество быков приближённо равно $7.76 \times 1 0^{206544}$ . Чтобы записать все Шаблон:Число цифр необходимо 660 страниц с 2500 знаков на каждой. Впервые точное числовое значение решения задачи о быках было распечатано в 1965 году с использованием компьютерной техники^[1].