Задача Бернштейна

Задача Бернштейна — задача о графике функции, являющимся минимальной поверхностью. Названа в честь Сергея Натановича Бернштейна, решившего 2-мерный случай этой задачи в 1914 году.

Задача Бернштейна оказалась тесно связанной с вопросом существования негладких минимальных гиперповерхностей в соответственной размерности.

Формулировка

При каких $n$ график функции, определённой на всём ${ℝ}^n$, являющийся минимальной поверхностью в ${ℝ}^{n+1}$, обязан являться плоским?

Ответ: это верно при $n⩽7$ и неверно при $n⩾8$. Соответствующий пример функции $f:{ℝ}^n\to ℝ$ можно найти среди функций вида

$f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8)=F(u,v)$,

где

$u=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2},\text{и}v=\sqrt{x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2}.$

Замечания

Задача Бернштейна оказалась напрямую связана с вопросом существования в ${ℝ}^n$ неплоского конуса, минимизирующего площадь. Конкретным примером такой гиперповерхности является поверхность

$\{x\in {ℝ}^8:x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2\}$.

История

• В 1914 году, Бернштейн доказал, что утверждение задачи верно при $n=2$. (В той же статье была доказана теорема Бернштейна о седловом графике.)
• В 1962 году Шаблон:Iw дал другое доказательство теоремы Бернштейна, выводя его из того, что не существует неплоских конусов, минимизирующих площадь, в ${ℝ}^3$.
• В 1965 году де Джорджи показал, что если в ${ℝ}^n$ нет минимизирующих площадь неплоских конусов, то для $n$ верен аналог теоремы Бернштейна. В частности, отсюда следовал случай $n=3$.
• В 1966 году Альмгрен доказал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в ${ℝ}^4$, и таким образом, обобщил теорему Бернштейна на $n=4$.
• В 1968 году Саймонс показал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в ${ℝ}^7$ и, таким образом, обобщил теорему Бернштейна на $n⩽7$.
  • Он также привел примеры локально устойчивых конусов в ${ℝ}^8$, но не смог доказать, что они минимизируют площадь.
• В 1969 году Бомбиери, де Джорджи и Джусти доказали, что конусы Саймонса в самом деле минимизирующие, и что в ${ℝ}^{n+1}$ при $n⩾8$ существуют графики, которые являются минимальными, но не плоскими.
  • В сочетании с результатом Саймонса, это полностью решает задачу Бернштейна.