Задача Ламберта

Задача Ламберта — в небесной механике краевая задача для дифференциального уравнения

$\ddot{𝐫}=-\mu \cdot \frac{𝐫}{r^3},r=\left|𝐫\right|$,

для которого в общем случае решения являются кеплеровскими орбитами. В более точной формулировке:

Для двух различных моментов времени $t_1,t_2$ и двух заданных векторов ${𝐫}_1,{𝐫}_2$ найти решение $𝐫(t)$, удовлетворяющее указанному дифференциальному уравнению и краевым условиям

$𝐫(t_1)={𝐫}_1,𝐫(t_2)={𝐫}_2.$

Изучалась Иоганном Генрихом Ламбертом.

Исходный геометрический анализ

Фигура 1: $F_1$ — притягивающий центр, $P_1$ — точка, соответствующая вектору ${\overline{r}}_1$, и $P_2$ — точка, соответствующая вектору ${\overline{r}}_2$

Фигура 2: Гипербола с точками $P_1$ и $P_2$ в качестве фокусов, проходящая через $F_1$

Фигура 3: Эллипс с точками $F_1$ и $F_2$ в качестве фокусов, проходящий через $P_1$ и $P_2$

Три точки

• $F_1$, центр притяжения,
• $P_1$, точка, соответствующая вектору ${\overline{r}}_1$,
• $P_2$, точка, соответствующая вектору ${\overline{r}}_2$,

образуют треугольник в плоскости, определённый векторами ${\overline{r}}_1$ и ${\overline{r}}_2$, как показано на фигуре 1. Пусть расстояние между точками $P_1$ и $P_2$ равно $2d$, расстояние между точками $P_1$ и $F_1$ составляет $r_1=r_m-A$ и расстояние между точками $P_2$ и $F_1$ составляет $r_2=r_m+A$. Значение $A$ положительно или отрицательно в зависимости от того, какая из точек $P_1$ и $P_2$ расположена дальше от точки $F_1$. Геометрическая задача состоит в том, чтобы найти все эллипсы, которые проходят через точки $P_1$ и $P_2$ и имеют фокус в точке $F_1$.

Точки $F_1$, $P_1$ и $P_2$ определяют гиперболу, проходящую через точку $F_1$ и имеющую точки $P_1$ и $P_2$ в качестве фокусов. Точка $F_1$ располагается либо на левой, либо на правой ветви гиперболы в зависимости от знака $A$. Большая полуось этой гиперболы равна $|A|$, её эксцентриситет $E$ равен $\frac{d}{|A|}$. Эта гипербола изображена на фигуре 2.

В обычной системе координат, заданной большой и малой осями гиперболы, её уравнение принимает вид Шаблон:NumBlk, где Шаблон:NumBlk

Для любой точки на той же ветви гиперболы , что и $F_1$ разность между расстояниями $r_2$ до точки $P_2$ и $r_1$ до точки $P_1$ составляет Шаблон:NumBlk

Для любой точки $F_2$ другой ветви гиперболы, соответствующее выражение имеет вид Шаблон:NumBlk, т.е. Шаблон:NumBlk

Но это означает, что обе точки $P_1$ и $P_2$ располагаются на эллипсе, имеющим фокусы в точках $F_1$ и $F_2$, большая полуось которого равна Шаблон:NumBlk

Эллипс, отвечающий произвольно выбранной точке $F_2$, изображен на фигуре 3.

Ссылки

• А.А.Суханов Астродинамика
• Lambert's theorem through an affine lens. Paper by Alain Albouy containing a modern discussion of Lambert's problem and a historical timeline. Шаблон:Arxiv
• Revisiting Lambert's Problem. Paper by Dario Izzo containing an algorithm for providing an accurate guess for the householder iterative method that is as accurate as Gooding's Procedure while computationally more efficient. Шаблон:Doi
• Lambert's Theorem - A Complete Series Solution. Paper by James D. Thorne with a direct algebraic solution based on hypergeometric series reversion of all hyperbolic and elliptic cases of the Lambert Problem.
• Шаблон:Cite journal