Задача Лебега

Задача Лебега состоит в отыскании плоской фигуры наименьшей площади, которая способна накрыть собой любую плоскую фигуру диаметра 1.

Замечания

Любая фигура диаметра 1 может быть накрыта фигурой постоянной ширины 1 (каждая фигура диаметра 1 — своей фигурой постоянной ширины, то есть фигура постоянной ширины зависит от фигуры диаметра 1). Для фигур постоянной ширины диаметр совпадает с шириной. Поэтому задача Лебега сводится к нахождению плоской фигуры наименьшей площади, которая способна накрыть собой фигуру постоянной ширины 1.

Известно, что фигура Лебега существует, но она, возможно, не единственна. Если $L$ её площадь, то известно, что

$0,826\approx \frac{\pi }{8}+\frac{\sqrt{3}}{4}<L<\frac{2}{121}\cdot \sqrt{28634\cdot \sqrt{3}-15139}+\arccos \frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{\pi }{3}-\frac{109}{121}-\frac{82}{121\cdot \sqrt{3}}\approx 0,845.$

Нижняя оценка доказана в.

Для нахождения оценки сверху достаточно представить плоскую фигуру, способную накрыть любую плоскую фигуру диаметра 1. К таким фигурам относятся (в порядке уменьшения площади):

• Квадрат со стороной 1, его площадь равна 1;
• Правильный шестиугольник ширины 1, его площадь равна $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$;
• Самой маленькой известной на сегодня фигурой с этим свойством является правильный шестиугольник ширины 1, у которого определённым способом срезаны 3 угла. С двух углов срезаны равнобедренные треугольники, основания которых касаются окружности, вписанной в шестиугольник; третий угол срезается по двум окружностям радиуса 1, касающихся сторон на расстоянии, равном стороне такого равнобедренного треугольника.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Lebesgue Minimal Problem на Wolfram Mathworld.