Задача об упаковке в контейнеры

Задача об упаковке в контейнеры — NP-трудная комбинаторная задача. Задача заключается в упаковке объектов предопределённой формы в конечное число контейнеров предопределённой формы таким способом, чтобы число использованных контейнеров было наименьшим или количество или объём объектов (которые упаковывают) были наибольшими.

Разновидности и методы решения задач упаковки

Существует множество разновидностей этой задачи (двумерная упаковка, линейная упаковка, упаковка по весу, упаковка по стоимости и т. п.), которые могут применяться в разных областях, как собственно в вопросе оптимального заполнения контейнеров, загрузки грузовиков с ограничением по весу, созданием резервных копий на съёмных носителях и т. д. Так как задача является NP-трудной, то использование точного переборного алгоритма возможно только при небольших размерностях. Обычно для решения задачи используют эвристические приближённые полиномиальные алгоритмы.

Задача упаковки в одномерные одинаковые контейнеры

Постановка задачи

Пусть дано множество контейнеров размера $V$ и множество $n$ предметов размеров $a_1,\dots ,a_n$. Надо найти целое число контейнеров $B$ и разбиение множества $\{1,\dots ,n\}$ на $B$ подмножеств $S_1\cup \dots \cup S_B$ таких, что $\sum _{i\in S_k}{a}_i\le V$ для всех $k=1,\dots ,B$. Решение называется оптимальным, если $B$ минимально. Минимальное $B$ далее обозначается OPT.

Упаковка как задача целочисленного программирования

Задача упаковки в контейнеры может быть сформулирована как задача целочисленного программирования следующим образом:

Минимизировать $B=\sum _{i=1}^n{y}_i$
при ограничениях	$\sum _{j=1}^n{a}_j{x}_{ij}\le V{y}_i,$	$\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}$
	$\sum _{i=1}^n{x}_{ij}=1,$	$\mathrm{\forall }j\in \{1,\dots ,n\}$
	$y_i\in \{0,1\},$	$\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}$
	$x_{ij}\in \{0,1\},$	$\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}\mathrm{\forall }j\in \{1,\dots ,n\}$

где $y_i=1$, если контейнер $i$ используется и $x_{ij}=1$, если предмет $j$ помещён в контейнер $i$.

Приближённые полиномиальные алгоритмы

Простейшими полиномиальными алгоритмами упаковки являются алгоритмы Best Fit Decreasing — BFD (Наилучший подходящий по убыванию) и First Fit Decreasing — FFD (Первый подходящий по убыванию). Предметы упорядочивают по убыванию размеров и последовательно пакуют либо в контейнер, в котором после упаковки останется наименьший свободный объём — BFD, либо в первый контейнер куда он помещается — FFD. Доказано, что эти алгоритмы используют не более

$\frac{11}{9}OPT+1$

контейнеров.

Однако для задачи упаковки существуют и асимптотически ε -оптимальные полиномиальные алгоритмы.

Задача определения, равно ли OPT двум или трем является NP-трудной. Поэтому для любого ε > 0, трудно упаковать предметы в (3/2 − ε)OPT контейнеров. (Если такой полиномиальный алгоритм существует, то за полиномиальное время можно определить разделятся ли n неотрицательных чисел на два множества с одинаковой суммой элементов. Однако известно, что эта проблема NP-трудна.) Следовательно, если P не совпадает с NP, то для задачи упаковки в контейнеры нет алгоритма приближенной схемы полиномиального времени (PTAS). С другой стороны, для всякого ε >0  можно найти решение с не более, чем (1 + ε)OPT + 1 контейнерами за полиномиальное время. Такие алгоритмы относятся к асимптотической PTAS. Но поскольку в оценке сложности этого класса алгоритмов $a{n}^b$ обе константы произвольно зависят от  ε, подобные алгоритмы в отличие от FFD и BFD могут быть практически бесполезными.

Вероятностный подход

Для некоторого класса вероятностных распределений размеров упаковываемых предметов, включающего функции распределения выпуклые вверх и вниз, существует практический полиномиальный алгоритм упаковки асимптотически оптимальный почти наверное при неограниченном росте числа предметов. Для распределений не входящих в этот класс могут строиться индивидуальные полиномиальные асимптотически оптимальные алгоритмы.

Примечания

См. также

• Задачи упаковки
• Задача о ранце
• Задача о сумме подмножеств
• Оптимизация
• Упаковка шаров