Заутеровский диаметр

В гидродинамике диаметр Заутера (заутеровский диаметр, Шаблон:Lang-en) является средней мерой размера частицы, например, в аэрозоле. Первоначально он был разработан немецким ученым Йозефом Заутером в конце 1920-х годов. Он определяется как диаметр сферы, которая имеет такое же соотношение объёма к площади поверхности, что и интересующая частица. Средний диаметр Заутера (заутеровский средний диаметр, Шаблон:Lang-en) определяется следующим образом: если бы весь объём частиц в слое сформировался в сферы одинакового размера, соотношение суммарного объёма к суммарной поверхности которых должно быть таким же, то эти сферы имели бы диаметр Заутера. Эта величина является параметром распределения частиц по размерам. Есть подДля получения хорошей оценки SMD было разработано несколько методов.

Стандартное обозначение диаметра Заутера в немецком языке согласно DIN ISO 9276-2 : ${\overline{x}}_{1,2}$. В литературе также широко используются следующие термины (с запятой и без неё, часто без макрона из-за ограничений программного обеспечения):

${\overline{x}}_{1,2}=d_{32}=SMD=D_S$.

Определение

Диаметр Заутера (SD, также обозначаемый D[3,2] или $d_{32}$) для конкретной (необязательно шарообразной) частицы определяется как:

$$SD=\frac{d_v^3}{d_s^2}$$

где d_s — так называемый диаметр поверхности , а d_v — объёмный диаметр, определяемые как:

$d_s=\sqrt{\frac{S_p}{\pi }}$

$d_v={\left(\frac{6V_p}{\pi }\right)}^{1/3},$

Величины S_p и V_p представляют собой обычные площадь поверхности и объём частицы соответственно.

Уравнение можно упростить ещё больше: $$SD=6\frac{V_p}{A_p}=\frac{6}{S_V},$$ где $S_V=\frac{S}{V}$ — удельная (объёмная) площадь поверхности.

Удельную площадь поверхности можно описать коэффициентами формы аналогично эквивалентному диаметру .

Для сферической частицы диаметр Заутера совпадает с обычным диаметром сферы.

В случае нескольких частиц удельная поверхность становится средней взвешенной величиной по всем частицам: $S_V=\frac{\sum _i{S}_i}{\sum _i{V}_i}$, что даёт следующую формулу для среднего диаметра Заутера (SMD):

$$SMD=\frac{6}{S_V}=6\frac{\sum _i^n{V}_i}{\sum _i^n{S}_i}$$

Иногда для получения среднего диаметра Заутера принимают среднее значение нескольких измерений:

$$SMD=\sum _i^{n}S{M}_i/n$$

SMD можно определить как диаметр капли, имеющей то же соотношение объема к площади поверхности, что и весь распыл.

Заутеровский диаметр $d_{32}$ можно превратить в обобщённый средний диаметр (для непрерывного распределения частиц): $$D_{pq}={\left(\frac{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}n(D)D^{p}dD}{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}n(D)D^{q}dD}\right)}^{1/(p-q)}$$ или в случае дискретного набора частиц: $$D_{pq}=\sqrt[p-q]{\frac{\sum _i^n{n}_i{D}_i^p}{\sum _i^n{n}_i{D}_i^q}}$$ Для большинства распределений размеров заутеровский диаметр $d_{32}$ больше арифметического $D_{10}$, поверхностного $D_{20}$ и объёмного $D_{30}$ средних диаметров.

При разных значениях p и q из этой формулы получаются разные характеристики распределения, которые имеют свои предпочтительные области применения:

Виды средних диаметров

Обозначение	Словесное название	Применение
$D_{10}$	арифметическое или линейное	испарение
$D_{20}$	поверхностное	контроль площади поверхности (напр., абсорбция)
$D_{30}$	объёмное	контроль объёма (напр., гидрология)
$D_{21}$	поверхностный диаметр	адсорбция
$D_{31}$	объёмный диаметр	испарение, молекулярная диффузия
$D_{32}$	заутеровский диаметр	перенос массы, реакции, распыление
$D_{43}$	де Брука	равновесие взрыва

Средний диаметр Заутера, вероятно, является наиболее часто используемым средним значением, поскольку он характеризует ряд важных процессов. Чин и Лефевр (1985) предполагают, что это лучший показатель тонкости распыления.

Приложения

SMD особенно важен в расчетах, где важна площадь активной поверхности. К таким областям относятся катализ и применение в сжигании топлива.

Другое применение — описание пористых сред. В математической формулировке больше внимания уделяется пористости:

$${\overline{x}}_{1,2}=\frac{6\cdot (1-ϵ)}{\sigma }$$

где $ϵ$ обозначает пористость, а $\sigma$ — внутреннюю удельную поверхность.

Пористое твёрдое вещество может, например, состоять из плотно упакованных частиц, слипшихся между собой или спечённых в точках контакта, между которыми свободны пространственно-сетчатые, непрерывные поры.

$ϵ$ — свободный объём (объём пор) относительно общего объёма (общий объём частиц + объём пор) и $\sigma$ — общая площадь внутренней поверхности по отношению к общему объёму.

Например, если пористая среда состоит из упаковки n одинаковых сфер радиуса R в объёме V, то $ϵ=1-\frac{n\cdot 4\cdot \pi \cdot R^3}{3\cdot V}$ и $\sigma =\frac{n\cdot 4\cdot \pi \cdot R^2}{V}$. В результате диаметр Заутера: ${\overline{x}}_{1,2}=2\cdot R$, то есть диаметр шара.

Диаметр Заутера является важным параметром статистического описания потоков жидкости или газа через пористые среды. Существует линейная зависимость между локальной скоростью потока $𝐯$, осреднённой по нескольким диаметрам пор, и локально усреднённым градиентом давления $\mathrm{\nabla }p$ :

$$\mathrm{\nabla }p=\frac{\eta \cdot 𝐯}{B},$$

где $B$ — проницаемость пористого твердого тела и $\eta$ обозначает вязкость жидкости или газа. При геометрически подобной структуре, то есть одинаковой пористости, проницаемость пропорциональна квадрату диаметра Заутера:

$$B\sim {\overline{x}}_{1,2}^2.$$

См. также

• Сферичность