Избыточное число

Избыточное число — положительное целое число $n$, сумма положительных собственных делителей (отличных от $n$) которого превышает $n$.

Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные числа.

Первые избыточные числа:

Шаблон:Nums, Шаблон:Nums, …

Число 48, например, является избыточным, поскольку Шаблон:Nums = 76, 76 > 48.

Наименьшим избыточным числом является Шаблон:Num1. Наименьшим нечётным избыточным числом является Шаблон:Num1.

Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Более того, почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность), лежащей между 0,2474 и 0,2480.

Индексом избыточности называется величина $I(N)=\sigma (N)/N$, где $\sigma (N)$ — сумма делителей числа (для совершенных чисел $I(N)=2$).

Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность $\{a_k\}$ минимальных чисел $N$, таких что $I(N)>k$.

Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее Шаблон:Num1, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.

Специальные классы избыточных чисел — Шаблон:Iw, слегка избыточные числа (их существование — открытая проблема).

Литература

• Шаблон:Статья