Изгиб пластин

Изгиб круглой пластины с закреплёнными краями под действием пореречной силы. Левая половина пластины показывает деформированную форму, а правая половина — недеформированную. Этот расчет произведён с использованием программы Ansys.

Изгиб пластин в теории упругости относится к расчёту деформаций в пластинах (в общем случае произвольной толщины, но малым по сравнению с продольными размерами), под действием перпендикулярных к плоскости пластины внешних сил и моментов. Величину отклонения можно определить, решив дифференциальные уравнения соответствующей теории пластин в зависимости от допущений на малость тех или иных параметров. По этим прогибам можно рассчитать напряжения в пластине. При известных напряжениях можно использовать теорию разрушения, чтобы определить, нарушение целостности плиты при данной нагрузке. Деформация пластины является функцией двух координат, поэтому теория пластин формулируется в общем случае в терминах дифференциальных уравнений в двумерном пространстве. Также считается, что пластина изначально (в ненапряжённом состоянии) имеет плоскую форму.

Изгиб пластин в теории Кирхгофа — Лява

Силы и моменты действующие на плоской пластины для рассчёта равновесия элементарного объёма

Определения

Для тонкой прямоугольной пластины толщиной $H$, модулем Юнга $E$ и коэффициентом Пуассона $\nu$, можно определить упругие параметры в терминах прогиба пластины $w$.

В декартовой системе координат жёсткость при изгибе определяется

$D=\frac{E{H}^3}{12(1-{\nu }^2)}.$

Моменты

Изгибные моменты на единицу длины задаютсяШаблон:Sfn

$M_x=-D(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\nu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}),$

$M_y=-D(\nu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}).$

Крутящий момент на единицу длины определяется

$M_{xy}=-D(1-\nu )\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}.$

Силы

Сдвиговые силы на единицу длины определяются выражениемШаблон:Sfn

$Q_x=-D\frac{\partial }{\partial x}(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}),$

$Q_y=-D\frac{\partial }{\partial y}(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}).$

Напряжения

Компоненты изгибных напряжений определяются выражением

${\sigma }_x=-\frac{12Dz}{H^3}(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\nu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}),$

${\sigma }_y=-\frac{12Dz}{H^3}(\nu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}).$

Напряжение сдвига задается

${\tau }_{xy}=-\frac{12Dz}{H^3}(1-\nu )\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}.$

Деформации

Изгибающие деформации в теории для малых отклонений определяются

${ϵ}_x=\frac{\partial u}{\partial x}=-z\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2},$

${ϵ}_y=\frac{\partial v}{\partial y}=-z\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}.$

Деформации сдвига в теории для малых отклонений задаются

${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=-2z\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}.$

В теории для больших отклонений пластин рассматривают деформации мембран в виде

${ϵ}_x=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2,$

${ϵ}_y=\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)}^2,$

${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial y}.$

Прогибы

Эти прогибы определяются

$u=-z\frac{\partial w}{\partial x},$

$v=-z\frac{\partial w}{\partial y}.$

Вывод

В теории пластин Кирхгофа — Лява система определяющих уравнений состоит из

$N_{\alpha \beta ,\alpha }=0$

и

$M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0.$

Или в развёрнутой (координатной) форме

$\frac{\partial N_{11}}{\partial x_1}+\frac{\partial N_{21}}{\partial x_2}=0;\frac{\partial N_{12}}{\partial x_1}+\frac{\partial N_{22}}{\partial x_2}=0,$

и

$\frac{{\partial }^2{M}_{11}}{\partial x_1^2}+2\frac{{\partial }^2{M}_{12}}{\partial x_1\partial x_2}+\frac{{\partial }^2{M}_{22}}{\partial x_2^2}=q.$

где $q(x)$ приложенная поперечная нагрузка на единицу площади, а толщина плиты равна $H=2h$, напряжения ${\sigma }_{ij}$, и

$N_{\alpha \beta }:={\int }_{-h}^h{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3;M_{\alpha \beta }:={\int }_{-h}^h{x}_3{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3.$

Величина $N$ имеет размерность единицы силы на единицу длины. Величина $M$ имеет размерность единицы момента на единицу длины.

Для изотропных, однородных пластин с модулем Юнга $E$ и коэффициентом Пуассона $\nu$ эти уравнения сводятся к

${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=-\frac{q}{D};D:=\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}=\frac{H^{3}E}{12(1-{\nu }^2)}$

где $w(x_1,x_2)$ прогиб средней поверхности пластины.

Малые прогибы тонких прямоугольных пластин

Малые прогибы тонких прямоугольных пластин описываются уравнением тонкой пластины Жермен — Лагранжа

$\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4}=\frac{q}{D}.$

Это уравнение было впервые выведено Лагранжем в декабре 1811 г. который исправил доклад Софи Жермен.

Большой прогиб тонких прямоугольных пластин

Большой прогиб тонких прямоугольных пластин описывается уравнениями для пластины Феппля — фон Кармана

$\frac{{\partial }^{4}F}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{4}F}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}F}{\partial y^4}=E[{\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}\right)}^2-\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}],$

$\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4}=\frac{q}{D}+\frac{H}{D}(\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}-2\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}),$

где $F$ функция напряжения.

Круглые пластины Кирхгофа-Лява

Изгиб круглых пластин можно изучить, решив основное уравнение с соответствующими граничными условиями. Эти решения были впервые найдены Пуассоном в 1829 году. Для таких задач удобны цилиндрические координаты. z расстояние точки от средней плоскости пластины.

Основное уравнение в безкоординатной форме имеет вид

${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=-\frac{q}{D}.$

В цилиндрических координатах $(r,\theta ,z)$,

${\mathrm{\nabla }}^{2}w\equiv \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial w}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial z^2}.$

Для симметрично нагруженных круглых пластин, где изгиб зависит от только радиуса $w=w(r)$ получим

${\mathrm{\nabla }}^{2}w\equiv \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dw}{dr}\right).$

Следовательно, основное уравнение приобретёт вид обыкновенного дифференциального уравненияШаблон:Sfn

$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dw}{dr}\right)\right\}\right]=-\frac{q}{D}.$

Если $q$ и $D$ постоянны, то прямое интегрирование основного уравнения имеет решение

$w(r)=-\frac{q{r}^4}{64D}+C_1\ln r+\frac{C_2{r}^2}{2}+\frac{C_3{r}^2}{4}(2\ln r-1)+C_4$

где $C_i$ константы интегрирования. Наклон отклоняющей поверхности равен

$\varphi (r)=\frac{dw}{dr}=-\frac{q{r}^3}{16D}+\frac{C_1}{r}+C_{2}r+C_{3}r\ln r.$

Для круглой пластины требование конечности прогиба и крутизны прогиба при $r=0$ подразумевает, что $C_1=0$. Однако, $C_3$ не обязательно равняется 0, так как правый предел $r\ln r$ существует по мере приближения к началу координат $r=0$.

Закрепленные края

Для круглой пластины (радиуса a) с зажатыми краями $w(a)=0$ и $\varphi (a)=0$ на краю пластины. Подставляя эти граничные условия в общее решение получаемШаблон:Sfn

$w(r)=-\frac{q}{64D}(a^2-r^2{)}^2\text{and}\varphi (r)=\frac{qr}{16D}(a^2-r^2).$

Смещения пластины в плоскости равны

$u_r(r)=-z\varphi (r)\text{and}{u}_{\theta }(r)=0.$

Плоские деформации в пластине равны

${\epsilon }_{rr}=\frac{d{u}_r}{dr}=-\frac{qz}{16D}(a^2-3r^2),{\epsilon }_{\theta \theta }=\frac{u_r}{r}=-\frac{qz}{16D}(a^2-r^2),{\epsilon }_{r\theta }=0.$

Напряжения в плоскости пластины равны

${\sigma }_{rr}=\frac{E}{1-{\nu }^2}[{\epsilon }_{rr}+\nu {\epsilon }_{\theta \theta }];{\sigma }_{\theta \theta }=\frac{E}{1-{\nu }^2}[{\epsilon }_{\theta \theta }+\nu {\epsilon }_{rr}];{\sigma }_{r\theta }=0.$

Для плиты толщиной $2h$, жесткость на изгиб $D=2E{h}^3/[3(1-{\nu }^2)]$ и

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{rr}& =-\frac{3qz}{32h^3}[(1+\nu )a^2-(3+\nu )r^2]\\ {\sigma }_{\theta \theta }& =-\frac{3qz}{32h^3}[(1+\nu )a^2-(1+3\nu )r^2]\\ {\sigma }_{r\theta }& =0.\end{array}$

Результирующие моменты (изгибные моменты) равны

$M_{rr}=-\frac{q}{16}[(1+\nu )a^2-(3+\nu )r^2];M_{\theta \theta }=-\frac{q}{16}[(1+\nu )a^2-(1+3\nu )r^2];M_{r\theta }=0.$

Максимальное радиальное напряжение при $z=h$ и $r=a$:

${{\sigma }_{rr}|}_{z=h,r=a}=\frac{3q{a}^2}{16h^2}=\frac{3q{a}^2}{4H^2}$

где $H:=2h$. Изгибающие моменты на границе и в центре пластины равныШаблон:Sfn

${M_{rr}|}_{r=a}=\frac{q{a}^2}{8},{M_{\theta \theta }|}_{r=a}=\frac{\nu q{a}^2}{8},{M_{rr}|}_{r=0}={M_{\theta \theta }|}_{r=0}=-\frac{(1+\nu )q{a}^2}{16}.$

Прямоугольные пластины Кирхгофа-Лява

Изгиб прямоугольной пластины под действием распределенной силы $q$ на единицу площади.

Для прямоугольных пластин Навье в 1820 году ввел простой метод определения смещения и напряжения, когда пластина опирается на края. Идея заключалась в том, чтобы выразить приложенную нагрузку в терминах компонент ряда Фурье, найти решение для синусоидальной нагрузки (одна гармоника Фурье), а затем сложить гармоники Фурье, чтобы получить решение для произвольной нагрузки.

Синусоидальная нагрузка

Предположим, что нагрузка имеет видШаблон:Sfn

$q(x,y)=q_0\sin \frac{\pi x}{a}\sin \frac{\pi y}{b}.$

Здесь $q_0$ амплитуда, $a$ ширина пластины в направлении $x$ и $b$ ширина пластины в направлении $y$.

Поскольку пластина просто поддерживается на краях, то смещение $w(x,y)$ на краях пластины равно нулю, и изгибающий момент $M_{xx}$ также равен нулю на границах $x=0$ и $x=a$, $M_{yy}$ равен нулю на границах $y=0$ и $y=b$.

При этих граничные условиях и решение уравнения для пластины имеет видШаблон:Sfn

$w(x,y)=\frac{q_0}{{\pi }^{4}D}{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})}^{-2}\sin \frac{\pi x}{a}\sin \frac{\pi y}{b}.$

Где D жесткость на изгиб

$D=\frac{E{t}^3}{12(1-{\nu }^2)}.$

Analogous to flexural stiffness EI. Напряжения и деформации в пластине можно рассчитать, если знаем смещение.

При общей нагрузки в виде

$q(x,y)=q_0\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}$

где $m$ и $n$ целые, получим решениеШаблон:Sfn

$\text{(1)}w(x,y)=\frac{q_0}{{\pi }^{4}D}{(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2})}^{-2}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}.$

Решение Навье

Уравнение для двумерного тригонометрического ряда

Определяем общую нагрузку $q(x,y)$ в видеШаблон:Sfn

$q(x,y)=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{mn}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}$

где $a_{mn}$ коэффициент Фурье, определяемый формулойШаблон:Sfn

$a_{mn}=\frac{4}{ab}{\int }_0^b{\int }_0^{a}q(x,y)\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}\text{d}x\text{d}y$.

Таким образом, классическое уравнение прямоугольной пластины для малых прогибов принимает следующий вид:

$\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4}=\frac{1}{D}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{mn}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}$

Свободно опёртая пластина с общей нагрузкой

Предполагаем решение $w(x,y)$ вида

$w(x,y)=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{w}_{mn}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}$

Частные дифференциалы этой функции даются выражениями

$\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^4{w}_{mn}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}.$

$\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial y^2}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^2{w}_{mn}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b},$

$\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^4{w}_{mn}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}.$

Подставляя эти выражения в уравнение для пластины, получим

$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{({\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^2)}^2{w}_{mn}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{mn}}{D}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}$

Приравнивая два ряда получим для коэффициентов

${({\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^2)}^2{w}_{mn}=\frac{a_{mn}}{D}$

или при перестановки получим

$w_{mn}=\frac{1}{{\pi }^{4}D}\frac{a_{mn}}{{(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2})}^2}$

Прогиб свободно опертой пластины (на углах) при общей нагрузке задаётся выражениемШаблон:Sfn

$w(x,y)=\frac{1}{{\pi }^{4}D}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{mn}}{{(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2})}^2}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}$

Свободно опёртая пластина с постоянной нагрузкой

Шаблон:Multiple image

Для равномерно распределенной нагрузки имеем

$q(x,y)=q_0$

Таким образом, соответствующий коэффициент Фурье определяется выражением

$a_{mn}=\frac{4}{ab}{\int }_0^a{\int }_0^b{q}_0\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}\text{d}x\text{d}y$.

Вычисляя двойной интеграл, имеем

$a_{mn}=\frac{4q_0}{{\pi }^{2}mn}(1-\cos m\pi )(1-\cos n\pi )$,

или в другом виде кусочно-заданной функции

$a_{mn}=\{\begin{array}{cc}\frac{16q_0}{{\pi }^{2}mn}& m\text{and}n\text{odd}\\ 0& m\text{or}n\text{even}\end{array}$

Прогиб свободно опертой пластины (с условиями на углах) с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражением

$w(x,y)=\frac{16q_0}{{\pi }^{6}D}\sum _{m=1,3,5,\mathrm{...}}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1,3,5,\mathrm{...}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{mn{(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2})}^2}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}$

Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражением

$M_x=\frac{16q_0}{{\pi }^4}\sum _{m=1,3,5,\mathrm{...}}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1,3,5,\mathrm{...}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\frac{m^2}{a^2}+\nu \frac{n^2}{b^2}}{mn{(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2})}^2}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}$

$M_y=\frac{16q_0}{{\pi }^4}\sum _{m=1,3,5,\mathrm{...}}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1,3,5,\mathrm{...}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\frac{n^2}{b^2}+\nu \frac{m^2}{a^2}}{mn{(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2})}^2}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b}$

Решение Леви

Другой подход был предложен Леви в 1899 году. В этом случае мы начинаем с предполагаемой формы смещения и пытаемся подогнать параметры так, чтобы выполнялись определяющее уравнение и граничные условия. Цель — найти рашения основного уравнения ${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=q/D$$Y_m(y)$ такие, что они удовлетворяют граничным условиям при $y=0$ и $y=b$.

Предположим, чтоШаблон:Sfn

$w(x,y)=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{Y}_m(y)\sin \frac{m\pi x}{a}.$

Для пластины, которая свободно опирается краями при $x=0$ и $x=a$, граничные условия: $w=0$ и $M_{xx}=0$. Обратите внимание, что на этих краях нет изменений смещения, что означает $\partial w/\partial y=0$ и ${\partial }^{2}w/\partial y^2=0$, сводя, таким образом, моментное граничное условие к эквивалентному выражению ${\partial }^{2}w/\partial x^2=0$.

Моменты на краях

Рассмотрим случай чисто моментной нагрузки. В этом случае $q=0$ и функция $w(x,y)$ должна удовлетворять уравнению ${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=0$. В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение выражается как

$\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4}=0.$

Подставляем выражение для $w(x,y)$ в основное уравнение что приводит кШаблон:Sfn

$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}[{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^4{Y}_m\sin \frac{m\pi x}{a}-2{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2\frac{d^2{Y}_m}{d{y}^2}\sin \frac{m\pi x}{a}+\frac{d^4{Y}_m}{d{y}^4}\sin \frac{m\pi x}{a}]=0$

или

$\frac{d^4{Y}_m}{d{y}^4}-2\frac{m^2{\pi }^2}{a^2}\frac{d^2{Y}_m}{d{y}^2}+\frac{m^4{\pi }^4}{a^4}{Y}_m=0.$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее общее решениеШаблон:Sfn

$Y_m=A_m\cosh \frac{m\pi y}{a}+B_m\frac{m\pi y}{a}\cosh \frac{m\pi y}{a}+C_m\sinh \frac{m\pi y}{a}+D_m\frac{m\pi y}{a}\sinh \frac{m\pi y}{a}$

где $A_m,B_m,C_m,D_m$ константы, которые можно определить из граничных условий. Следовательно, изгибное решение имеет вид

$w(x,y)=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}[(A_m+B_m\frac{m\pi y}{a})\cosh \frac{m\pi y}{a}+(C_m+D_m\frac{m\pi y}{a})\sinh \frac{m\pi y}{a}]\sin \frac{m\pi x}{a}.$

Выберем систему координат так, чтобы границы пластины находились на краях при $x=0$ и $x=a$, при $y=\pm b/2$. Тогда граничные условия на моменты при $y=\pm b/2$

$w=0,-D\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}{|}_{y=b/2}=f_1(x),-D\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}{|}_{y=-b/2}=f_2(x)$

где $f_1(x),f_2(x)$ известные функции. Решение можно найти, используя эти граничные условия. Можно показать, что для симметричного случая, когда

$M_{yy}{|}_{y=-b/2}=M_{yy}{|}_{y=b/2}$

и

$f_1(x)=f_2(x)=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_m\sin \frac{m\pi x}{a}$

получимШаблон:Sfn

$w(x,y)=\frac{a^2}{2{\pi }^{2}D}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_m}{m^2\cosh {\alpha }_m}\sin \frac{m\pi x}{a}({\alpha }_m\tanh {\alpha }_m\cosh \frac{m\pi y}{a}-\frac{m\pi y}{a}\sinh \frac{m\pi y}{a})$

где

${\alpha }_m=\frac{m\pi b}{2a}.$

Аналогично для антисимметричного случая, когда

$M_{yy}{|}_{y=-b/2}=-M_{yy}{|}_{y=b/2}$

получимШаблон:Sfn

$w(x,y)=\frac{a^2}{2{\pi }^{2}D}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_m}{m^2\sinh {\alpha }_m}\sin \frac{m\pi x}{a}({\alpha }_m\coth {\alpha }_m\sinh \frac{m\pi y}{a}-\frac{m\pi y}{a}\cosh \frac{m\pi y}{a}).$

Используя симметричные и антисимметричные решения, можно составить более общие решения.

Опёртая пластина с равномерно распределенной нагрузкой

Для равномерно распределенной нагрузки

$q(x,y)=q_0$

Отклонение опёртой пластины с центром при $(\frac{a}{2},0)$ с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражениемШаблон:Sfn

$\begin{array}{cc}& w(x,y)=\frac{q_0{a}^4}{D}\sum _{m=1,3,5,\mathrm{...}}^{\mathrm{\infty }}(A_m\cosh \frac{m\pi y}{a}+B_m\frac{m\pi y}{a}\sinh \frac{m\pi y}{a}+G_m)\sin \frac{m\pi x}{a}\\ \\ & \begin{array}{cc}\text{where}& A_m=-\frac{2({\alpha }_m\tanh {\alpha }_m+2)}{{\pi }^5{m}^5\cosh {\alpha }_m}\\ & B_m=\frac{2}{{\pi }^5{m}^5\cosh {\alpha }_m}\\ & G_m=\frac{4}{{\pi }^5{m}^5}\\ \\ & {\alpha }_m=\frac{m\pi b}{2a}\end{array}\end{array}$

Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражениями

$M_x=-q_0{\pi }^2{a}^2\sum _{m=1,3,5,\mathrm{...}}^{\mathrm{\infty }}{m}^2(((\nu -1)A_m+2\nu B_m)\cosh \frac{m\pi y}{a}+(\nu -1)B_m\frac{m\pi y}{a}\sinh \frac{m\pi y}{a}-G_m)\sin \frac{m\pi x}{a}$

$M_y=-q_0{\pi }^2{a}^2\sum _{m=1,3,5,\mathrm{...}}^{\mathrm{\infty }}{m}^2(((1-\nu )A_m+2B_m)\cosh \frac{m\pi y}{a}+(1-\nu )B_m\frac{m\pi y}{a}\sinh \frac{m\pi y}{a}-\nu G_m)\sin \frac{m\pi x}{a}$

Равномерная и симметричная моментная нагрузка

Для частного случая, когда нагрузка симметрична и момент однороден, при $y=\pm b/2$,

$M_{yy}=f_1(x)=\frac{4M_0}{\pi }\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2m-1}\sin \frac{(2m-1)\pi x}{a}.$

Шаблон:Multiple image

Результирующий изгиб равен

$\begin{array}{cc}& w(x,y)=\frac{2M_0{a}^2}{{\pi }^{3}D}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2m-1{)}^3\cosh {\alpha }_m}\sin \frac{(2m-1)\pi x}{a}\times \\ & [{\alpha }_m\tanh {\alpha }_m\cosh \frac{(2m-1)\pi y}{a}-\frac{(2m-1)\pi y}{a}\sinh \frac{(2m-1)\pi y}{a}]\end{array}$

где

${\alpha }_m=\frac{\pi (2m-1)b}{2a}.$

Изгибающие моменты и поперечные силы, соответствующие смещению $w$ находятся по формулам

$\begin{array}{cc}{M}_{xx}& =-D(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\nu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2})\\ & =\frac{2M_0(1-\nu )}{\pi }\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2m-1)\cosh {\alpha }_m}\times \\ & \sin \frac{(2m-1)\pi x}{a}\times \\ & [-\frac{(2m-1)\pi y}{a}\sinh \frac{(2m-1)\pi y}{a}+\\ & \{\frac{2\nu }{1-\nu }+{\alpha }_m\tanh {\alpha }_m\}\cosh \frac{(2m-1)\pi y}{a}]\\ M_{xy}& =(1-\nu )D\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}\\ & =-\frac{2M_0(1-\nu )}{\pi }\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2m-1)\cosh {\alpha }_m}\times \\ & \cos \frac{(2m-1)\pi x}{a}\times \\ & [\frac{(2m-1)\pi y}{a}\cosh \frac{(2m-1)\pi y}{a}+\\ & (1-{\alpha }_m\tanh {\alpha }_m)\sinh \frac{(2m-1)\pi y}{a}]\\ Q_{zx}& =\frac{\partial M_{xx}}{\partial x}-\frac{\partial M_{xy}}{\partial y}\\ & =\frac{4M_0}{a}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\cosh {\alpha }_m}\times \\ & \cos \frac{(2m-1)\pi x}{a}\cosh \frac{(2m-1)\pi y}{a}.\end{array}$

Напряжения

${\sigma }_{xx}=\frac{12z}{h^3}{M}_{xx}\text{and}{\sigma }_{zx}=\frac{1}{\kappa h}{Q}_{zx}(1-\frac{4z^2}{h^2}).$

Изгиб цилиндрической пластины

Цилиндрический изгиб возникает, когда прямоугольная пластина имеющая размеры $a\times b\times h$, где $a\ll b$ и малую толщину $h$, подвергается равномерной распределенной нагрузке, перпендикулярной плоскости пластины. Такая пластина имеет форму поверхности цилиндра.

С помощью методов Навье и Леви также можно найти решения для свободно опёртых пластин при цилиндрическом изгибе с различным количеством незакреплённых краёвШаблон:Sfn.

Изгиб толстых пластин Миндлина

Для толстых пластин необходимо учитывать влияние сдвиговых напряжений по толщине на ориентацию нормали к средней поверхности после деформации. Теория Миндлина предлагает единый подход к нахождению деформации и напряжений в таких пластинах. Решения теории Миндлина можно получить из эквивалентных решений Кирхгофа-Лява с использованием канонических соотношений.

Основные уравнения

Канонические уравнения для изотропных толстых пластин можно записать в виде

$\begin{array}{cc}& {\mathrm{\nabla }}^2(ℳ-\frac{ℬ}{1+\nu }q)=-q\\ & \kappa Gh({\mathrm{\nabla }}^{2}w+\frac{ℳ}{D})=-(1-\frac{ℬc^2}{1+\nu })q\\ & {\mathrm{\nabla }}^2(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_2}-\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_1})=c^2(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_2}-\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_1})\end{array}$

где $q$ приложенная поперечная нагрузка, $G$ модуль сдвига, $D=E{h}^3/[12(1-{\nu }^2)]$ жесткость на изгиб, $h$ толщина пластины, $c^2=2\kappa Gh/[D(1-\nu )]$, $\kappa$ коэффициент поправки сдвигового напряжения, $E$ модуль Юнга, $\nu$ коэффициент Пуассона и

$ℳ=D[𝒜(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_1}+\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_2})-(1-𝒜){\mathrm{\nabla }}^{2}w]+\frac{2q}{1-{\nu }^2}ℬ.$

Согласно теории Миндлина $w$ поперечное смещение средней поверхности пластины, а величины ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ соответственные повороты нормали к средней поверхности относительно $x_2$ и $x_1$-осей. Канонические параметры этой теории $𝒜=1$ и $ℬ=0$. Коэффициент поправки сдвигового напряжения $\kappa$ обычно принимают за $5/6$.

Решения основных уравнений можно найти, если знать соответствующие решения Кирхгофа-Лява с помощью соотношений

$\begin{array}{cc}w& =w^K+\frac{{ℳ}^K}{\kappa Gh}(1-\frac{ℬc^2}{2})-\mathrm{\Phi }+\mathrm{\Psi }\\ {\phi }_1& =-\frac{\partial w^K}{\partial x_1}-\frac{1}{\kappa Gh}(1-\frac{1}{𝒜}-\frac{ℬc^2}{2})Q_1^K+\frac{\partial }{\partial x_1}(\frac{D}{\kappa Gh𝒜}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }+\mathrm{\Phi }-\mathrm{\Psi })+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_2}\\ {\phi }_2& =-\frac{\partial w^K}{\partial x_2}-\frac{1}{\kappa Gh}(1-\frac{1}{𝒜}-\frac{ℬc^2}{2})Q_2^K+\frac{\partial }{\partial x_2}(\frac{D}{\kappa Gh𝒜}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }+\mathrm{\Phi }-\mathrm{\Psi })+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_1}\end{array}$

где $w^K$ это смещение, предсказанное для пластины Кирхгофа-Лява, $\mathrm{\Phi }$ бигармоническая функция такая, что ${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=0$, $\mathrm{\Psi }$ функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, ${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }=0$ и

$\begin{array}{cc}ℳ& ={ℳ}^K+\frac{ℬ}{1+\nu }q+D{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi };{ℳ}^K:=-D{\mathrm{\nabla }}^2{w}^K\\ Q_1^K& =-D\frac{\partial }{\partial x_1}\left({\mathrm{\nabla }}^2{w}^K\right),Q_2^K=-D\frac{\partial }{\partial x_2}\left({\mathrm{\nabla }}^2{w}^K\right)\\ \mathrm{\Omega }& =\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_2}-\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_1},{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Omega }=c^2\mathrm{\Omega }.\end{array}$

Свободно опёртые прямоугольные пластины

Для свободно опертых пластин сумма моментов Маркуса равна нулю

$ℳ=\frac{1}{1+\nu }(M_{11}+M_{22})=D(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_1}+\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_2})=0.$

В этом случае функции $\mathrm{\Phi }$, $\mathrm{\Psi }$, $\mathrm{\Omega }$ равны нулю, а решение Миндлина связано с соответствующим решением Кирхгофа соотношением

$w=w^K+\frac{{ℳ}^K}{\kappa Gh}.$

Изгиб консольно-закреплённых пластин Рейсснера-Штейна

Теория Рейсснера-Штейна для консольных пластин приводит к следующим связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям для консольной пластины с сосредоточенной нагрузкой на торце $q_x(y)$ в точке $x=a$.

$\begin{array}{cc}& bD\frac{{\mathrm{d}}^4{w}_x}{\mathrm{d}{x}^4}=0\\ & \frac{b^{3}D}{12}\frac{{\mathrm{d}}^4{\theta }_x}{\mathrm{d}{x}^4}-2bD(1-\nu )\frac{d^2{\theta }_x}{d{x}^2}=0\end{array}$

и граничных условиях в точке $x=a$

$\begin{array}{cc}& bD\frac{d^3{w}_x}{d{x}^3}+q_{x1}=0,\frac{b^{3}D}{12}\frac{d^3{\theta }_x}{d{x}^3}-2bD(1-\nu )\frac{d{\theta }_x}{dx}+q_{x2}=0\\ & bD\frac{d^2{w}_x}{d{x}^2}=0,\frac{b^{3}D}{12}\frac{d^2{\theta }_x}{d{x}^2}=0.\end{array}$

Решение этой системы двух ОДУ дает

$\begin{array}{cc}{w}_x(x)& =\frac{q_{x1}}{6bD}(3a{x}^2-x^3)\\ {\theta }_x(x)& =\frac{q_{x2}}{2bD(1-\nu )}[x-\frac{1}{{\nu }_b}(\frac{\sinh ({\nu }_{b}a)}{\cosh [{\nu }_b(x-a)]}+\tanh [{\nu }_b(x-a)])]\end{array}$

где ${\nu }_b=\sqrt{24(1-\nu )}/b$. Изгибные моменты и поперечные силы, соответствующие смещению $w=w_x+y{\theta }_x$

$\begin{array}{cc}{M}_{xx}& =-D(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\nu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2})\\ & =q_{x1}\left(\frac{x-a}{b}\right)-\left[\frac{3y{q}_{x2}}{b^3{\nu }_b{\cosh }^3[{\nu }_b(x-a)]}\right]\times \\ & [6\sinh ({\nu }_{b}a)-\sinh [{\nu }_b(2x-a)]+\sinh [{\nu }_b(2x-3a)]+8\sinh [{\nu }_b(x-a)]]\\ M_{xy}& =(1-\nu )D\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}\\ & =\frac{q_{x2}}{2b}[1-\frac{2+\cosh [{\nu }_b(x-2a)]-\cosh [{\nu }_{b}x]}{2{\cosh }^2[{\nu }_b(x-a)]}]\\ Q_{zx}& =\frac{\partial M_{xx}}{\partial x}-\frac{\partial M_{xy}}{\partial y}\\ & =\frac{q_{x1}}{b}-\left(\frac{3y{q}_{x2}}{2b^3{\cosh }^4[{\nu }_b(x-a)]}\right)\times [32+\cosh [{\nu }_b(3x-2a)]-\cosh [{\nu }_b(3x-4a)]\\ & -16\cosh [2{\nu }_b(x-a)]+23\cosh [{\nu }_b(x-2a)]-23\cosh ({\nu }_{b}x)].\end{array}$

Напряжения

${\sigma }_{xx}=\frac{12z}{h^3}{M}_{xx}\text{and}{\sigma }_{zx}=\frac{1}{\kappa h}{Q}_{zx}(1-\frac{4z^2}{h^2}).$

Если приложенная нагрузка на краю постоянна, мы восстанавливаем решения для балки при сосредоточенной торцевой нагрузке. Если приложенная нагрузка — линейная функция $y$, то

$q_{x1}={\int }_{-b/2}^{b/2}{q}_0(\frac{1}{2}-\frac{y}{b})\text{d}y=\frac{b{q}_0}{2};q_{x2}={\int }_{-b/2}^{b/2}y{q}_0(\frac{1}{2}-\frac{y}{b})\text{d}y=-\frac{b^2{q}_0}{12}.$

Литература

• Шаблон:Книга