Инвариант Шварца

Инвариант Шварца (или производная Шварца или шварциан) — дифференциальный оператор вида

$(Sf)(z)=\frac{f^{‴}(z)}{f^{\prime }(z)}-\frac{3}{2}{\left(\frac{f^{″}(z)}{f^{\prime }(z)}\right)}^2,$

где $f(z)$ — аналитическая функция. (Иногда используется обозначение $\{f,z\}$.)

Свойства

• Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт является главным свойством инварианта Шварца. В то время как вторая производная измеряет близость функции к линейной, инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейных функций.
• Если $f$ — аналитическая функция, а $g$ — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение $(Sf)(z)=(S(g\circ f))(z)$, то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца. С другой стороны, производная Шварца f o g вычисляется по формуле,

$(S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g^{\prime }(z{)}^2.$

Таким образом выражениеШаблон:Прояснить

$(S(f))(z)d{z}^{\otimes 2}$

инвариантно относительно дробно-линейных преобразований.

• Более того, для произвольных, достаточное количество раз дифференцируемых функций f и g

$S(f\circ g)=(S(f)\circ g)\cdot (g^{\prime }{)}^2+S(g).$

• Введём функцию от двух комплексных переменных

$F(z,w)=\log \left(\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\right)$.

Рассмотрим выражение

$\frac{{\partial }^{2}F(z,w)}{\partial z\partial w}=\frac{f^{\prime }(z)f^{\prime }(w)}{(f(z)-f(w){)}^2}-\frac{1}{(z-w{)}^2}$.

Тогда производная Шварца выражается как

$(Sf)(z)={6\cdot \frac{{\partial }^{2}F(z,w)}{\partial z\partial w}|}_{z=w}.$

• Производная Шварца имеет простую формулу для перестановки f и z

$(Sf)(z)=-{\left(\frac{df}{dz}\right)}^2(Sz)(f)$.

Выражение $(Sz)(f)$ имеет следующий смысл: мы рассматриваем $f$ как координату, а $z(f)$ как функцию. Затем вычисляем Шварциан $z(f)$. Мы предполагаем, что $f^{\prime }\ne 0$ поэтому по теореме об обратной функции $f$ действительно является локальной координатой, а $z^{\prime }(f)=1/f^{\prime }(z)$ (используя это наблюдение, последнее свойство доказывается прямым вычислением).

• Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида $\frac{d^{2}f}{d{z}^2}+Q(z)f(z)=0$. Тогда его два линейно независимых решения $f_1$ и $f_2$ удовлетворяют соотношению $\left(S\frac{f_1}{f_2}\right)(z)=2Q(z)$.