Интегральное уравнение Вольтерры

Интегра́льное уравне́ние Вольте́рры (распространено также написание интегральное уравнение Вольтерра́) — специальный тип интегральных уравнений. Предложены итальянским математиком Вито Вольте́ррой, а затем изучались Траяном Лалеску в работе Sur les équations de Volterra, написанной в 1908 году под руководством Эмиля Пикара. В 1911 году Лалеску написал первую книгу об интегральных уравнениях. Уравнения находят применение в демографии, изучении вязко-упругих материалов, в страховой математике через уравнение восстановления.

Данные уравнения делятся на два типа.

Линейное уравнение Вольтерры первого рода:

$f(t)=\underset{a}{\overset{t}{\int }}K(t,s)x(s)ds$,

где $f$ — заданная функция, $x$ — неизвестная функция.

Линейное уравнение Вольтерры второго рода:

$x(t)=f(t)+\underset{a}{\overset{t}{\int }}K(t,s)x(s)ds$.

В теории операторов и в теории Фредгольма соответствующие уравнения называются оператором Вольтерры.

Функция $K$ в интеграле часто называется ядром. Такие уравнения могут быть проанализированы и решены с помощью метода Лапласа.

Уравнения с однородным ядром

Первого рода

$f(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}K(t-s)x(s)ds$

Решение основано на преобразовании Лапласа. Производя преобразование Лапласа обеих частей уравнения и обозначая его тильдой:

$\tilde{f}(p)=\tilde{K}(p)\tilde{x}(p)$

Таким образом,

$\tilde{x}(p)=\frac{\tilde{f}(p)}{\tilde{K}(p)}$

Если при $t\to 0$ функции $K(t),f(t)$ стремятся к $K_0,f_0$ соответственно, то при больших $p$ функция $\tilde{x}\to f_0/K_0$. Это означает наличие $\delta$-функционного вклада, который следует вынести. Таким образом, решение имеет вид

$x(t)=\frac{f_0}{K_0}\delta (t)+\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dp}{2\pi i}{e}^{pt}(\frac{\tilde{f}(p)}{\tilde{K}(t)}-\frac{f_0}{K_0})$

Второго рода

$f(t)=x(t)+\underset{a}{\overset{t}{\int }}K(t-s)x(s)ds$

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что

$\tilde{x}(p)=\frac{\tilde{f}(p)}{1+\tilde{K}(p)}$

Здесь уже случая неопределённости не возникает и

$x(t)=\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dp}{2\pi i}{e}^{pt}\left(\frac{\tilde{f}(p)}{1+\tilde{K}(t)}\right)$