Интегральное уравнение Гаммерштейна

Интегральное уравнение Гаммерштейна — нелинейное интегральное уравнение вида: $\varphi (t)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)\mathrm{\Psi }(s,\varphi (s))ds+f(t)$. Здесь $K(t,s),\mathrm{\Psi }(s,z),t(t)$ - известные функции, $\varphi (t)$ - искомая функция.Шаблон:Sfn

Теорема существования решения

Уравнение Гаммерштейна $\varphi (t)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)F(s,\varphi (s))ds$ имеет по крайней мере одно решение, если выполняются следующие условияШаблон:Sfn:

1. для линейного интегрального уравнения с ядром $K(t,s)$ справедливы теоремы Фредгольма и итерированное ядро $K_2(t,s)$ непрерывно;
2. ядро $K(t,s)$ симметрично, то есть $K(t,s)=K(s,t)$;
3. ядро $K(t,s)$ положительно определённое, то есть все его характеристические числа положительны;
4. функция $K(t,s)$ удовлетворяет условию $\mid K(t,s)\mid ⩽C_1\mid z\mid +C_2$, где

$C_1,C_2$ - положительные постоянные, $C_1<{\lambda }_1$, ${\lambda }_1$ - наименьшее характеристическое число ядра $K(t,s)$;

Теоремы единственности решения

• Уравнение Гаммерштейна $\varphi (t)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)F(s,\varphi (s))ds$ имеет самое большее одно решение, если для любого фиксированного $s\in [a,b]$ функция $F(s,z)$ является неубывающей функцией $z$Шаблон:Sfn.

• Уравнение Гаммерштейна $\varphi (t)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)F(s,\varphi (s))ds$ имеет самое большее одно решение, если функция $F(s,z)$ равномерно удовлетворяет условию Липшица $\mid F(s,z_2)-F(s,z_1)\mid <\alpha \mid z_2-z_1\mid$, где $0<\alpha <{\lambda }_1$Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга