Интеграл Борвейна

Интегралы Борвейна — интегралы, рассмотренные Дэвидом и Джонатаном Борвейнами, в которых задействована функция sinc.

В этих интегралах появляется интересная закономерность, которая в конце исчезает:

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\pi /2\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}dx=\pi /2\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\frac{\sin (x/5)}{x/5}dx=\pi /2\end{array}$

Эта закономерность продолжается до

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/13)}{x/13}dx=\pi /2.$

Но на следующем шаге она нарушается:

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/15)}{x/15}dx& =\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi \\ & =\frac{\pi }{2}-\frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\pi \\ & \simeq \frac{\pi }{2}-2.31\times 10^{-11}.\end{array}$

В общем случае, такие интегралы равны Шаблон:Дробь2, если сумма обратных к числам Шаблон:Nowrap, где k — число сомножителей, меньше единицы.

В нашем примере Шаблон:Nowrap, но Шаблон:Nowrap

Пример более длинного ряда:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2\cos (x)\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/111)}{x/111}dx=\pi /2$,

но

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2\cos (x)\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/111)}{x/111}\frac{\sin (x/113)}{x/113}dx<\pi /2,$

как показано в статье Шмида Ханспетера. В этом случае это связано с тем, что Шаблон:Nowrap, но Шаблон:Nowrap.

Джонатан Борвейн, зная, что закономерность нарушается на восьмом элементе, написал в службу поддержки программного пакета Maple заявку о «баге». У разработчика Жака Каретта заняло трое суток понять, что это не ошибка.