Интеграл Зиверта

График интеграла Зиверта при различных θ

Интеграл Зиверта (интегральный секанс) — специальная функция, возникающая в задачах о распространении излучения от протяжённого источника. Назван по имени шведского физика Рольфа Зиверта, который ввёл его в 1921 году. Она представляет собой неберущийся интеграл:

$F(\theta ,x)=\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}{e}^{-x\cdot \sec \phi }d\phi$

Полный интеграл Зиверта связан с интегралом функций Бесселя $\mathrm{Ki}$:

$F(\frac{\pi }{2},x)={\mathrm{Ki}}_1(x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{K}_0(t)dt$

где $K_0(x)$ — функция Макдональда.

Существует два обобщения интеграла Зиверта:

$F_a(\theta ,x)=x^a\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}{e}^{-x\cdot \sec \phi }\cdot {\sec }^a\phi d\phi$

$F_a(\theta ,x,y)=x^a\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}{e}^{-x\cdot \sec \phi }\cdot (\sec \phi {)}^a\cdot (\mathrm{tg}\phi {)}^{2y-1}d\phi$

где $a⩾0,x>0,0<\theta ⩽\frac{\pi }{2}$

Ссылки

• Шаблон:MathWorld