Интеграл Якоби

В небесной механике интеграл Якоби является единственной известной сохраняющейся величиной в рамках ограниченной круговой задачи трёх тел. В отличие от задачи двух тел, энергия и момент системы не сохраняются по отдельности и общее аналитическое решение получить не удается. Интеграл Якоби используется для получения численного решения в отдельных случаях.

Определение

Синодическая система

Синодическая система координат

Одной из удобных систем координат является так называемая синодическая система с началом координат в барицентре, при этом линия, соединяющая массы μ₁ и μ₂, выбрана в качестве оси x, а расстояние между ними выбрано в качестве единицы расстояния. Поскольку система вращается вместе с телами, то они остаются неподвижными и расположенными в точках с координатами (−μ₂, 0) и (+μ₁, 0)¹.

В системе координат (x, y) постоянная Якоби имеет вид

$C_J=n^2(x^2+y^2)+2(\frac{{\mu }_1}{r_1}+\frac{{\mu }_2}{r_2})-({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2),$

где:

• $n=\frac{2\pi }{T}$ — среднее движение (орбитальный период T),
• ${\mu }_1=G{m}_1,{\mu }_2=G{m}_2$, для двух масс m₁, m₂ и гравитационной постоянной  G,
• $r_1,r_2$ — расстояния от тестовой частицы до двух массивных тел.

Заметим, что интеграл Якоби равен минус удвоенной полной энергии в расчёте на единицу массы во вращающейся системе отсчёта: первое слагаемое относится к центробежной потенциальной энергии, второе относится к гравитационному потенциалу, третье — кинетическая энергия. В данной системе отсчёта силы, действующие на частицу, включают две гравитационные силы со стороны тел, центробежную силу и силу Кориолиса. Поскольку первые три силы можно выразить через потенциалы, а последняя перпендикулярна траектории, все они консервативны, поэтому энергия, измеряемая в данной системе энергия (следовательно, и интеграл Якоби), сохраняется.

Сидерическая система

Инерциальная система.

В инерциальной (сидерической) системе отсчёта (ξ, η, ζ) массы вращаются вокруг барицентра. В данной системе координат постоянная Якоби имеет вид

$C_J=2(\frac{{\mu }_1}{r_1}+\frac{{\mu }_2}{r_2})+2n(\xi \dot{\eta }-\eta \dot{\xi })-({\dot{\xi }}^2+{\dot{\eta }}^2+{\dot{\zeta }}^2).$

Вывод

В синодической системе ускорения можно представить в виде производных от скалярной функции

$U(x,y,z)=\frac{n^2}{2}(x^2+y^2)+\frac{{\mu }_1}{r_1}+\frac{{\mu }_2}{r_2}.$

Рассмотрим уравнения Лагранжа для движения тела:

$\ddot{x}-2n\dot{y}=\frac{\delta U}{\delta x},$

$\ddot{y}+2n\dot{x}=\frac{\delta U}{\delta y},$

$\ddot{z}=\frac{\delta U}{\delta z},$

После умножения уравнений на $\dot{x},\dot{y}$ и $\dot{z}$ соответственно и сложения всех трёх выражений получим равенство

$\dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z}=\frac{\delta U}{\delta x}\dot{x}+\frac{\delta U}{\delta y}\dot{y}+\frac{\delta U}{\delta z}\dot{z}=\frac{dU}{dt}.$

После интегрирования получим выражение

${\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2=2U-C_J,$

где C_J — постоянная интегрирования.

Левая часть равенства является квадратом скорости v пробной частицы в синодической системе отсчёта.

¹Данная система координат является неинерциальной, что объясняет появление слагаемых, связанных с центробежной силой и силой Кориолиса.

Литература

• Carl D. Murray and Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999], pages 68–71. (Шаблон:ISBN)