Интерполяционное пространство

Интерполяционное пространство — понятие функционального анализа, описывающее свойства банаховых пространств.

Определение

Пусть $A,B,C,D,E,F$ - банаховы пространства, $A,B$ и $C,D$ - две банаховы пары, а $E$ и $F$ - промежуточные банаховы пространства между $A$ и $B$, $C$ и $D$ соответственно. Тройка $(A,B,E)$ называется интерполяционной относительно тройки $(C,D,F)$, если всякий ограниченный оператор из пары $A,B$ в пару $C,D$ отображает пространство $E$ в пространство $F$. Пространство $E$ называется интерполяционным между пространствами банаховой пары $A$ и $B$, если $A$ совпадает с $C$, $B$ совпадает с $D$ и $E$ совпадает с $F$.Шаблон:Sfn

Банахова пара пространств

Банаховой парой называются два банаховых пространства $A$ и $B$, алгебраически и топологически вложенные в некоторое отделимое топологическое линейное пространство $𝔄$.Шаблон:Sfn

Вложенное банахово пространство

Банахово пространство $B$ вложено в банахово пространство $A$, если:

1. Из $x\in B$ следует, что $x\in A$.
2. Пространство $A$ индуцирует на $B$ структуру векторного пространства, совпадающую со структурой векторного пространства $B$.
3. Существует такая константа $C_{AB}$, что $\Vert x{\Vert }_A⩽C_{AB}\Vert x{\Vert }_B$ для всех $x\in B$.Шаблон:Sfn

Промежуточное банахово пространство

Банахово пространство $C$ называется промежуточным для пары банаховых пространств $A,B$, если имеются вложения $(A\cap B)\subset C\subset (A+B)$. Символ $\subset$ означает алгебраическое и непрерывное вложение. Для того, чтобы банахово пространство $C$ было промежуточным, достаточно, чтобы оно было алгебраически и непрерывно вложено в пространство $𝔄$, содержало в себе пространство $A\cap B$ и содержалось в пространстве $A+B$.Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга