Инфракрасная расходимость

Инфракрасная расходимость (инфракрасная катастрофа) — ситуация якобы испускания бесконечно большого числа фотонов с бесконечно малыми энергиями при столкновении двух заряженных частиц или при резком изменении скорости заряженной частицы. Является следствием расходимости интеграла из-за вкладов объектов с очень малой энергией (почти равной нулю), или что то же самое, из-за физического явления на очень больших масштабах.

Инфракрасная расходимость имеется только в теориях с безмассовыми частицами (такими как фотоны). Данные расходимости представляют собой эффект, который полная теория часто подразумевает. Один из способов борьбы с ней заключается в наложении обрезания.

Описание парадокса

Сечение процесса $d\sigma$ рассеяния заряженных частиц с испусканием одного дополнительного фотона выражается формулой: $d\sigma =d{\sigma }_0\frac{dI}{\omega }$. Здесь $d{\sigma }_0$ — сечение процесса рассеяния заряженных частиц с испусканием определённого числа фотонов, $dI$ — полная энергия излучения, $\omega$ — частота излучения. При интегрировании этой формулы по частотам в некотором конечном интервале от ${\omega }_1$ до ${\omega }_2$ получается $d\sigma \sim \alpha \ln \frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}d{\sigma }_u$, где $d{\sigma }_u$ — сечение рассеяния упругого процесса. Можно приближенно считать, что ${\omega }_2$ приближенно равна начальной энергии излучающей частицы. Но величина ${\omega }_1$ может быть сделана сколь угодно близкой к нулю. В результате сечение излучения всех возможных мягких фотонов стремится к бесконечности.

При другом способе вычислений среднего числа фотонов при резком изменении скорости заряженной частицы: $\overline{n}\sim \ln \frac{L}{\lambda }$, где $L,\lambda$ — максимальная и минимальная частоты интегрирования. При $\lambda \to 0$ получаем, что $\overline{n}\to \mathrm{\infty }$, так что всегда излучается бесконечно много фотонов нулевой частоты.

Объяснение парадокса

Среднее число излученных фотонов $d\overline{n}=\frac{dI}{\omega }$, где $dI$ — классическая интенсивность излучения, $\omega$ — частота излучения. Интегрируя эту формулу получаем: $\overline{n}=\underset{{\omega }_1}{\overset{{\omega }_2}{\int }}\frac{dI}{\omega }$. Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически независимо, вероятность $\omega (n)$ излучения $\overline{n}$ фотонов выражается через их среднее число формулой Пуассона $\omega (n)=\frac{{\overline{n}}^n}{n!}\exp (-\overline{n})$. Сечение процесса рассеяния с излучением фотонов может быть представлено в виде: $d\sigma =d{\sigma }_u\omega (n)$. Поскольку $\sum \omega (n)=1$, то $d{\sigma }_u$ представляет собой полное сечение рассеяния, сопровождаемого любым мягким излучением. Сечение чисто упругого рассеяния в действительности равно нулю. При ${\omega }_1\to 0$ среднее число $\overline{n}\to \mathrm{\infty }$ и согласно формуле Пуассона обращается в нуль вероятность излучения любого конечного числа фотонов.

Физической причиной парадокса является предположение о бесконечном радиусе действия кулоновского поля, которое приводит к неадекватности фотонной картины для очень больших длин волн. Для выполнения условия $\overline{n}>1$ длины волн должны иметь длину больше $e^{\frac{1}{\alpha }}\frac{\hslash }{mc}$, что значительно больше радиуса наблюдаемой части Вселенной. Таким образом данный парадокс имеет чисто теоретическое значение

См. также

• Перенормировка
• Ренормализационная группа
• Ультрафиолетовая расходимость

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга