Иррациональная последовательность

В математике Шаблон:Не переведено 5 a_n называется иррациональной последовательностью, если она обладает свойством, что для любой последовательности x_n положительных целых чисел сумма последовательности

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a_n{x}_n}$

существует и является иррациональным числом. Задача описания иррациональных последовательностей поставлена Палом Эрдёшем и Шаблон:Не переведено 5, которые первоначально называли свойство быть иррациональной последовательностью «Свойством P».

Примеры

Шаблон:Не переведено 5 $2^{2^n}$ образуют иррациональную последовательность. Тем не менее, хотя последовательность Сильвестра

Шаблон:Nums, …

(в которой каждый член на единицу больше произведения всех предыдущих членов) также растёт со скоростью Шаблон:Не переведено 5, она не образует иррациональную последовательность. Если положить $x_n=1$, получим

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\cdots =1,$

которая сходится к рациональному числу. Подобным же образом факториалы $n!$ не образуют иррациональную последовательность, поскольку последовательность $x_n=n+2$ приводит к последовательности с рациональной суммой

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+2)n!}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{144}+\cdots =1$.

Скорость роста

Любая последовательность a_n, которая растёт со скоростью, такой что

$\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log \log a_n}{n}>\log 2$

является иррациональной последовательностью. Сюда входят последовательности, которые растут быстрее двойной экспоненты, как и некоторые двойные экспоненциальные последовательности растущие быстрее, чем степень степени двух.

Любая иррациональная последовательность должна расти достаточно быстро, так что

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n^{1/n}=\mathrm{\infty }.$

Однако не известно, существует ли такая последовательность, в которой НОД любой пары множителей равен 1 (в отличие от степени степени двух) и для которой

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n^{1/2^n}<\mathrm{\infty }$.

Связанные свойства

По аналогии с иррациональными последовательностями, Ханчл Шаблон:Harv определил трансцендентные последовательности как последовательности целых чисел a_n, такие, что для любой последовательности x_n положительных целых чисел сумма последовательности

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a_n{x}_n}$

существует и является трансцендентным числом.