Качающийся факториал

График функции качающегося факториала на логарифмической шкале

Качающийся факториал (Шаблон:Lang-en) — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел ${\mathbb{Z}}^{+}$. Обозначается $n\wr$, произносится эн качающийся факториа́л.

Качающийся факториал натурального числа $n$ определяется следующей формулой:

$n\wr =\frac{n!}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor {!}^2}=\frac{\prod _{i=1}^{n}i}{{\lfloor \prod _{i=1}^{\frac{n}{2}}i\rfloor }^2}$

Данная дробь всегда будет целым числом по простой причине — она кратна биномиальному коэффициенту $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor })$, который равен в точности $\frac{n!}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor !\cdot \lceil \frac{n}{2}\rceil !}$.

Из первой формулы можем получить новое определение факториала натурального числа $n$:

$n!=n\wr \lfloor n/2\rfloor {!}^2$

Качающийся факториал назван именно так из-за его графика функции, напоминающий функцию качения.

Последовательность качающегося факториала в OEIS

Последовательность качающегося факториала в Онлайн-Энциклопедии целочисленных последовательностей указана под кодировкой A056040.

Ниже приведены первые 10 значений функции качающегося факториала:

Значения факториала (OEIS A056040)

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
$n\wr$	1	1	2	6	6	30	20	140	70	630	252	2772	924	12012	3432	51480	12870	218790	48620	923780	124756	3879876	705432	16224936	2704156

См. также

• Факториал
• Комбинаторика
• Логарифм
• Пол и потолок (функции)