Квантовое неравенство Крамера — Рао

Квантовое неравенство Крамера — Рао — неравенство для нижней границы для среднеквадратической ошибки в квантовой теории оценивания, аналогичное неравенству Крамера — Рао в классической теории оценивания.

Формулировка

Рассмотрим квантовое оценивание оператора плотности $\rho (\theta )$ при помощи вероятностно-операторной меры $d\mathrm{\Pi }(\hat{\theta })$, дающее оценку $\hat{\theta }$ Апостерирорную плотность распределения вероятностей квантовой оценки можно вычислить как $q(\hat{\theta }|\theta )=q(\hat{\theta }|\theta )d^m\theta =\mathrm{Tr}[\rho (\theta )d\mathrm{\Pi }(\hat{\theta })]$. Математические ожидания квантовых оценок получаются в виде ${\overline{\theta }}_j=E({\hat{\theta }}_j|\theta )=\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }{\hat{\theta }}_j\mathrm{Tr}[\rho (\theta )d\mathrm{\Pi }(\hat{\theta })]$. Здесь $\mathrm{Tr}$ — след оператора в гильбертовом пространстве. Рассмотрим несмещенные оценки, то есть оценки, для которых справедливо тождество: ${\overline{\theta }}_j=E({\hat{\theta }}_j|\theta )={\theta }_j$. Ковариации несмещенных оценок $B_{ij}$ даются выражением: $B_{ij}=E[({\hat{\theta }}_i-{\overline{\theta }}_i)({\hat{\theta }}_j-{\overline{\theta }}_j)|\theta ]=\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }({\hat{\theta }}_i-{\overline{\theta }}_i)({\hat{\theta }}_j-{\overline{\theta }}_j)\mathrm{Tr}\rho (\theta )d\mathrm{\Pi }(\hat{\theta })$. При квадратичной функции потерь средний риск равен $\overline{C}=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m{g}_{ij}{B}_{ij}=\mathrm{tr}GB$. Здесь $\mathrm{tr}$ — след матрицыШаблон:Sfn.

Первая форма квантового неравенства Крамера-РаоШаблон:Sfn:

$\tilde{Y}BY⩾\tilde{Y}{A}^{-1}Y$.

Вторая форма квантового неравенства Крамера-РаоШаблон:Sfn:

$\tilde{Z}{B}^{-1}Z⩾\tilde{Z}AZ$.

Здесь $A_{ij}=\mathrm{Tr}\left(\frac{\partial \rho }{\partial {\theta }_i}{L}_j\right)$, $L_k$ определяются по формуле $\frac{\partial \rho }{\partial {\theta }_k}=\frac{1}{2}(\rho L_k+L_k\rho )$, $Y,Z$ получаем из $\mathrm{Re}\mathrm{Tr}(\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }{T}_{\theta }\rho T_{L}d\mathrm{\Pi }(\hat{\theta }))=\tilde{Y}Z$, где $T_{\theta }=1\sum _{j=1}^m{y}_j({\hat{\theta }}_j-{\theta }_j)$, $T_L=\sum _{k=1}^L{z}_{k}Lk$.

Литература

• Шаблон:Книга