Квантовый дилогарифм

Квантовый дилогарифм — это специальная функция, определяемая формулой

$\varphi (x)\equiv (x;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-x{q}^n),|q|<1$

В терминах Шаблон:Не переведено 5 имеем $\varphi (x)=E_q(x)$ .

Пусть $u,v$ — «q-коммутирующие переменные», являющиеся элементами некоторой некоммутативной алгебры и удовлетворяющие отношению Вейля $uv=qvu$Шаблон:Sfn. Тогда квантовый дилогарифм удовлетворяют тождеству Шютценбергерже

$\varphi (u)\varphi (v)=\varphi (u+v)$

тождеству Фаддеева — ВолковаШаблон:Sfn

$\varphi (v)\varphi (u)=\varphi (u+v-vu)$

и тождеству Фаддеева — КашаеваШаблон:Sfn

$\varphi (v)\varphi (u)=\varphi (u)\varphi (-vu)\varphi (v)$

Последнее тождество является квантовым обобщением пятичленного тождества Роджерса.

Квантовый дилогарифм Фаддеева ${\mathrm{\Phi }}_b(w)$ определяется следующей формулой:

${\mathrm{\Phi }}_b(z)=\exp \left(\frac{1}{4}\underset{C}{\int }\frac{e^{-2izw}}{\sinh (wb)\sinh (w/b)}\frac{\mathrm{d}w}{w}\right)$,

где контур интегрирования $C$ обходит сингулярность при t = 0 сверхуШаблон:Sfn. Та же функция может быть описана с помощью интегральной формулы Вороновича

${\mathrm{\Phi }}_b(x)=\exp (\frac{i}{2\pi }\underset{ℝ}{\int }\frac{\log (1+e^{t{b}^2+2\pi bx})}{1+e^t}\mathrm{d}t).$

Людвиг Дмитриевич Фаддеев обнаружил квантовое пятичленное тождество

${\mathrm{\Phi }}_b(\hat{p}){\mathrm{\Phi }}_b(\hat{q})={\mathrm{\Phi }}_b(\hat{q}){\mathrm{\Phi }}_b(\hat{p}+\hat{q}){\mathrm{\Phi }}_b(\hat{p})$

где $\hat{p}$ и $\hat{q}$ — Шаблон:Не переведено 5 (нормализованные) операторы квантового механического импульса и положения, удовлетворяющие соотношению неопределённости Гейзенберга

$[\hat{p},\hat{q}]=\frac{1}{2\pi i},$

и обратное отношение

${\mathrm{\Phi }}_b(x){\mathrm{\Phi }}_b(-x)={\mathrm{\Phi }}_b(0{)}^2{e}^{\pi i{x}^2},{\mathrm{\Phi }}_b(0)=e^{\frac{\pi i}{24}(b^2+b^{-2})}.$

Квантовый дилогарифм находит приложение в математической физике, Шаблон:Не переведено 5 и теории Шаблон:Не переведено 5.

Точная связь между Шаблон:Не переведено 5 и ${\mathrm{\Phi }}_b$ выражается тождеством

${\mathrm{\Phi }}_b(z)=\frac{E_{e^{2\pi i{b}^2}}(-e^{\pi i{b}^2+2\pi zb})}{E_{e^{-2\pi i/b^2}}(-e^{-\pi i/b^2+2\pi z/b})}$,

которое выполняется при Im $b^2>0$.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

Ссылки

• quantum dilogarithm Шаблон:Wayback на сайте nLab