Конус нормалей

Конус нормалей (Шаблон:Lang-en) — обобщение понятия нормали на случай множества с негладкой границей. Для построения конуса нормалей требуется только структура гильбертова пространства и выпуклость множества, к которому строится конус нормалей.

Понятие конуса нормалей широко используется в современной математике при описании контактной (негладкой) динамики.

Определение

Пусть в гильбертовом пространстве $H$ имеется выпуклое множество $C\subset H$ и точка $x\in H$. Конусом нормалей (внешним конусом нормалей) к множеству $C$ в точке $x$ называется множество $N_C(x)\subset H$, определенное по формуле:

$N_C(x)=\{\begin{array}{cc}\{y\in H:(y,\xi -x)⩽0\},& x\in C\\ \varphi ,& x\in ̸C\end{array}$

Связанные факты и определения

• В некоторых источниках определение конуса нормалей может содержать только формулировку для $x\in C$.
• Если $x$ лежит во внутренности $C$, то $N_C(x)=\{0\}$.
• Для выпуклого множества $C\subset H$ и точки $x\in H$ существует единственная $y\in C$, такая что

$\Vert x-y\Vert =\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,C)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\inf \{\Vert x-\xi \Vert :\mathrm{\forall }\xi \in C\}$.

При этом пишут, что $y=\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}(x,C)$ или $y=\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{x}(C,x)$.

Для выпуклого множества $C\subset H$ и точки $x\in H$

$y=\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}(x,C)$ тогда и только тогда, когда $x-y\in N_C(y)$.

Шаблон:Нп5 называется Шаблон:Нп5 к конусу нормалей в данной точке $x$:

$T_K(x)=N_K^{*}(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\{y\in V|\mathrm{\forall }\xi \in N_K(x):⟨y,\xi ⟩⩽0\}$

См. также

• Гильбертово пространство
• Выпуклое множество
• Метрика Хаусдорфа

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья