Координаты Леметра

Шаблон:ОТО Координа́ты Леме́тра — координаты в пространстве-времени Шварцшильда, впервые полученные Жоржем Леметром в 1933 году при помощи преобразования координат. В этих координатах была впервые устранена координатная сингулярность на гравитационном радиусе.

Метрика Леметра

Метрика Шварцшильда в системе $c=G=1$ дана выражением:

$d{s}^2=(1-\frac{r_g}{r})d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-\frac{r_g}{r}}-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2),$

где $d{s}^2$ — интервал;

• $r_g=2M$ — гравитационный радиус;
• $M$ — масса центрального тела;
• $t,r,\theta ,\phi$ — координаты Шварцшильда, асимптотически превращающиеся в плоские сферические координаты;
• $c$ — скорость света;
• $G$ — гравитационная постоянная.

В метрике Шварцшильда присутствует сингулярность на гравитационном радиусе при $r=r_g$.

Жорж Леметр первым указал, что эта сингулярность не является физической, а является следствием того, что стационарные координаты Шварцшильда невозможно реализовать с помощью физических тел под гравитационным радиусом. Действительно, под гравитационным радиусом все тела, включая лучи света, падают по направлению к центру и никакими силами невозможно удержать физическое тело на постоянном радиусе.

Преобразование от координат Шварцшильда $\{t,r\}$ к новым координатам Леметра $\{\tau ,\rho \}$:

$\{\begin{array}{c}d\tau =dt+\sqrt{\frac{r_g}{r}}\frac{1}{1-\frac{r_g}{r}}dr;\\ d\rho =dt+\sqrt{\frac{r}{r_g}}\frac{1}{1-\frac{r_g}{r}}dr\end{array}$

приводит к метрике Леметра:

$d{s}^2=d{\tau }^2-\frac{r_g}{r}d{\rho }^2-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2),$

где

$r={[\frac{3}{2}(\rho -\tau )]}^{2/3}{r}_g^{1/3}.$

В координатах Леметра сингулярность на гравитационном радиусе, где $\frac{3}{2}(\rho -\tau )=r_g$, отсутствует. Истинная же сингулярность в центре, $\rho -\tau =0$, сохраняется.

Метрика Леметра является синхронной — тела, неподвижные в координатах Леметра, находятся в состоянии свободного падения в гравитационном поле центрального тела. Вертикально падающие тела достигают гравитационного радиуса и центра за конечное собственное время.

Вдоль траектории луча света

$dr=(\pm 1-\sqrt{\frac{r_g}{r}})d\tau ,$

поэтому никакой сигнал не может выйти за пределы гравитационного радиуса, где всегда $dr<0$, и лучи света, испущенные вертикально вверх и вниз, оба оказываются в центре.