Координаты Якоби

Координаты Якоби для задачи двух тел; Координаты Якоби $𝑹=\frac{m_1}{M}{𝒙}_1+\frac{m_2}{M}{𝒙}_2$ и $𝒓={𝒙}_1-{𝒙}_2$ с $M=m_1+m_2$.

Возможный набор координат Якоби для задачи четырёх тел; координаты Якоби: r₁, r₂, r₃ и центр масс R.

В теории многочастичных систем координаты Якоби часто используются для упрощения математической формулировки. Эти координаты особенно распространены при рассмотрении многоатомных молекул и химических реакций, а также в небесной механике. Алгоритм генерации координат Якоби для N тел может быть основан на двоичных деревьях. На словах алгоритм описывается следующим образом:

Пусть m_j и m_k — массы двух тел, заменяемых новым телом виртуальной массы M = m_j + m_k. Координаты положения тел x_j и x_k заменяются их относительным положением r_jk = x_j. − x_k и вектором к их центру масс R_jk = (m_jq_j + m_kq_k)/(m_j+m_k). Узел в двоичном дереве, соответствующий виртуальному телу, имеет m_j в качестве правого дочернего элемента и m_k в качестве левого дочернего элемента. Порядок дочерних элементов указывает относительные точки координат от x_k до x_j. Повторите вышеуказанный шаг для N − 1 тела, то есть N − 2 оригинальных тел плюс новое виртуальное тело.

Для задачи N тел результат таков:

${𝒓}_j=\frac{1}{m_{0j}}\sum _{k=1}^j{m}_k{𝒙}_k-{𝒙}_{j+1}j\in \{1,2,\dots ,N-1\}$

${𝒓}_N=\frac{1}{m_{0N}}\sum _{k=1}^N{m}_k{𝒙}_k$

где

$m_{0j}=\sum _{k=1}^j{m}_k.$

Вектор ${𝒓}_N$ является центром масс всех тел и ${𝒓}_1$ — новая координата, между частицами 1 и 2:

Таким образом, в результате получается система из N-1 трансляционно-инвариантных координат ${𝒓}_1,\dots ,{𝒓}_{N-1}$ и координаты центра масс ${𝒓}_N$ от итеративного сокращения системы двух тел в системе многих тел.

Этой замене координат был сопоставлен якобиан, равный $1$.

Для оператора свободной энергии в этих координатах, можно получить выражение

$H_0=-\sum _{j=1}^N\frac{{\hslash }^2}{2m_j}\underset{{𝒙}_j}{\overset{2}{\partial }}=-\frac{{\hslash }^2}{2m_{0N}}\underset{{𝒓}_N}{\overset{2}{\partial }}-\frac{{\hslash }^2}{2}\sum _{j=1}^{N-1}(\frac{1}{m_{j+1}}+\frac{1}{m_{0j}})\underset{{𝒓}_j}{\overset{2}{\partial }}$

В расчётах может оказаться полезным следующее тождество

$\sum _{k=j+1}^N\frac{m_k}{m_{0k}{m}_{0k-1}}=\frac{1}{m_{0j}}-\frac{1}{m_{0N}}$ .