Кривая Вивиани

Кривая Вивиани — пересечение сферы и цилиндра

Кривая Вивиани — пространственная кривая, пересечение кругового цилиндра со сферой с центром на поверхности цилиндра и радиусом, равным диаметру цилиндра.

Названа в честь Винченцо Вивиани, который дал в 1692 году детальное исследование этой кривой и впервые отметил, что ограниченные ею на полусфере две области допускают простую квадратуру: их общая площадь такова, что поверхность оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы. До Вивиани эту кривую изучали Шаблон:Iw и Жиль Роберваль (1666).

Уравнения

• Кривая Вивиани является линией пересечения поверхности цилиндра

  $(x-a{)}^2+y^2=a^2$

со сферой вдвое большего радиуса, центр которой лежит на поверхности цилиндра:

$x^2+y^2+z^2=4\cdot a^2.$

• Параметрическое уравнение:

  $(a\cdot (1+\cos t),a\cdot \sin t,2\cdot a\cdot \sin \frac{t}{2}).$

• Уравнения проекций на плоскости $(xy)$, $(yz)$, $(xz)$:

  $x(z)=2r-\frac{z^2}{2r},$

  $y(z)=\pm z\sqrt{1-\frac{z^2}{4r^2}},$

  $y(x)=\pm \sqrt{x(2r-x)},$

  $z(x)=\pm \sqrt{2r(2r-x)},$

  $x(y)=r\pm \sqrt{r^2-y^2},$

  $z(y)=\pm \sqrt{2r^2\pm 2r\sqrt{r^2-y^2}}.$

Свойства

• Проекция кривой Вивиани на общую касательную цилиндра и сферы является лемнискатой Жероно.
• Кривая Вивиани на пересекающейся с цилиндром полусфере отделяет такие две области, что площадь оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы.

Литература

• Берже М. Геометрия, тт. 1—2. М: Мир, 1984.
• Loria G. Curve sghembe speciali, Ed. Zanichelli, Bologna, 1925.
• Roero C.S. L'intérêt international d'un problème proposé par Viviani, Actes de l’Univ. d'Été Hist. des Math., I.R.E.M. Toulouse, 1986.
• Roero C.S. The Italian challange to Leibnitzian calculus in 1692. Leibnitz and Viviani: a comparison of two epistemologies, V Int. Congress Leibnitz, Hannover, 1988.