Критерий знаков

В математической статистике критерий знаков используется при проверке нулевой гипотезы о равенстве медианы некоторому заданному значению (для одной выборки) или о равенстве нулю медианы разности (для двух связанных выборок). Это непараметрический критерий, то есть он не использует никаких данных о характере распределения, и может применяться в широком спектре ситуаций, однако при этом он может иметь меньшую мощность, чем более специализированные критерии.

Описание метода для двух выборок

Рассмотрим две непрерывно распределенные случайные величины X и Y, и пусть нулевая гипотеза выполняется, то есть медиана их разности равна нулю. Тогда $p=\mathbb{P}(X>Y)=0.5$. Иными словами, каждая из случайных величин равновероятно больше другой.

Рассмотрим пару связных выборок $\{(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)\}$. Будем считать, что в выборке нет элементов, для которых $x_i=y_i$ (иначе уберем эти элементы из выборки). Построим статистику w, равную числу элементов в выборке, при которых $x_i>y_i$. При выполнении нулевой гипотезы, эта величина имеет биномиальное распределение: $w\sim B(n,0.5)$.

Для применения критерия необходимо вычислить «левый хвост» биномиального распределения до w: $b=2^{-n}\sum _{i=0}^w{C}_n^i$. Согласно критерию, при уровне значимости $\alpha$:

• против двусторонней альтернативной гипотезы $p\ne 0.5$

если $b\in ̸[\alpha /2,1-\alpha /2]$, то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы $p<0.5$

если $b<\alpha$, то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы $p>0.5$

если $b>1-\alpha$, то нулевая гипотеза отвергается;

Пример задачи

Первая выборка — это значения некоторой характеристики состояния пациентов, записанные до лечения. Вторая выборка — это значения той же характеристики состояния тех же пациентов, записанные после лечения.

Порядок элементов (в данном случае пациентов) в выборках и объёмы выборок обязаны совпадать. Такие выборки и называются связанными.

Требуется выяснить, является ли лечение эффективным, то есть имеется ли значимое отличие в состоянии пациентов до и после лечения, или различия чисто случайны.

Заданы две выборки одинаковой длины $x^n=(x_1,\dots ,x_n),x_i\in ℝ;y^n=(y_1,\dots ,y_n),y_i\in ℝ$.

Дополнительные предположения:

• обе выборки простые;
• выборки связные, то есть элементы $x_i,y_i$ соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза $H_0:\mathbb{P}\{x>y\}=1/2$.

Если в выборке имеются случаи $x_i=y_i$, то их следует исключить из выборки, уменьшив число наблюдений. Статистика критерия — это число w элементов в выборке, при которых $x_i>y_i$.

Ссылки

• Критерий знаков // MachineLearning.ru.