Лемма Бёрнсайда

Лемма Бёрнсайда (или лемма Коши — Фробениуса) — классический результат комбинаторной теории групп, даёт выражение на число орбит в действии группы. Лемма Бёрнсайда лежит в основе доказательства теоремы Редфилда — Пойи.

Формулировка

Пусть $G$ — конечная группа, действующая на множестве $X$. Тогда число орбит действия равно среднему количеству точек, фиксированных в $X$ элементами $G$.

Точнее, для любого элемента $g$ из $G$ будем обозначать через $X^g$ множество элементов $X$, оставляемых на месте $g$, то есть

$X^g=\{x\in X\mid g\cdot x=x\}.$

Тогда (натуральное число или бесконечность)

$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|,$

здесь $|X/G|$ обозначает число орбит действия.

Доказательство

Число орбит равно $\sum _{m\in X}\frac{1}{|Orb(m)|}$, но по формуле орбит $|Orb(m)|=[G:G_m]=\frac{|G|}{|G_m|}$, где $G_m$ означает стабилизатор элемента $m$, значит, сумма равна $\frac{1}{|G|}\sum _{m\in X}|G_m|$. Выпишем в столбик все элементы $X$ и напишем рядом с каждым $m$ те элементы $G$, которые оставляют данный элемент неподвижным. Тогда произвольный элемент $g$ группы $G$ встретится такое же число раз, какое он оставляет элементы $X$ неподвижными, то есть в точности $|X^g|$ раз, а потому сумма $\sum _{m\in X}|G_m|$ равна сумме $\sum _{g\in G}|X^g|$, что и утверждалось.

Следствия

• Если действие конечной группы $G$ на множестве $X$ транзитивно, то

$\sum _{g\in G}|X^g|=|G|.$

История

Уильям Бёрнсайд сформулировал и доказал эту лемму (без указания авторства) в одной из своих книг (1897 год), но историки математики обнаружили, что он не был первым, кто открыл её. Коши в 1845 году и Фробениусу в 1887 году также была известна эта формула. По-видимому, лемма была столь хорошо известна, что Бёрнсайд просто опустил указание авторства Коши. Поэтому эта лемма иногда называется леммой не Бёрнсайда. Это название не столь туманно, как кажется: работа Бёрнсайда была столь плодотворной, что большинство лемм в этой области принадлежит ему.

Литература

• Шаблон:Книга
• Burnside, William (1897) Theory of Groups of Finite Order, Cambridge University Press, at Project Gutenberg and here at Archive.org. (Это первое издание; введение ко второму изданию содержит известный крутой поворот Бёрнсайда в отношении полезности теорий представлений.)
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Ссылки

• Р. Борчердс, Шаблон:YouTube