Лемма Маргулиса

Лемма Маргулиса — одно из ключевых утверждений об изометрических действиях на римановых многообразиях.

Названа в честь Григория Александровича Маргулиса.

Формулировка

Пусть $M$ есть риманово многообразие и $U\subset M$ — открытое подмножество. Для изометрии $f:M\to M$, определим норму:

$|f|=\underset{x\in U}{\sup }\{|f(x)-x{|}_M\}$,

где $|x-y{|}_M$ обозначает расстояние от $x$ до $y$ в $M$. Тогда существует константа $C$ такая, что:

$|[f,g]|\le C\cdot |f|\cdot |g|$

для произвольных двух изометрий $f,g:M\to M$, здесь $[f,g]$ обозначает коммутатор, то есть $[f,g]=f\circ g\circ f^{-1}\circ g^{-1}$.

Более того, если $U$ есть шар радиуса $R$ то константа $C$ зависит только от $R$, и оценок на кривизну в $U$ и радиуса инъективности в центре шара.

Следствия

• Пусть группа $\mathrm{\Gamma }$ действует изометрично и вполне разрывно на многообразии $M$. Предположим существует система образующих $F$ в $\mathrm{\Gamma }$, такая, что $|f(x_0)-x_0|$ достаточно мало для любого $f\in F$ и фиксированной точки $x_0\in M$. Тогда $\mathrm{\Gamma }$ почти нильпотентна; то есть $\mathrm{\Gamma }$ содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса.