Метод Крылова — Боголюбова

Метод Крылова-Боголюбова — метод получения приближённых аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений c малой нелинейностью.

Описание

Рассмотрим динамическую систему с малой нелинейностьюШаблон:Sfn:

$\ddot{x}=Gx+\mu F(x,\mu ,t)$ (1)

Здесь $x$ - вектор состояния системы с $2n$ компонентами, $G$ - постоянная квадратная матрица, $\mu$ - малый параметр, $F$ - нелинейная вектор-функция от вектора состояния $x$, малого параметра $\mu$ и времени $t$.

При $\mu =0$ система превращается в линейную. Одно из её периодических решений можно записать в виде:

$x_0=AV{e}^{i(\omega t+\theta )}$ (2)

Здесь $A$ - произвольная постоянная, $V$ - собственный вектор матрицы $G$, $\omega$ - одна из некратных собственных частот системы, $\theta$ - произвольная постоянная.

Решение системы (1) при $\mu \ne 0$ ищем в виде ряда по степеням малого параметра $\mu$:

$x=x_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^k{u}_k(A,\psi ,\mu t)$ (3)

Здесь $\psi =\omega t+\theta ,u_1,u_2,...$ - неизвестные вектор-функции $A,\psi$ и $\mu t$. $A$ и $\theta$ - медленно меняющаяся амплитуда и фаза, удовлетворяющие уравнениям:

$\frac{dA}{dt}=\mu f_1(A,\theta ,\mu t)+{\mu }^2{f}_2(A,\theta ,\mu t)+...$ (4)

$\frac{d\theta }{dt}=\mu h_1(A,\theta ,\mu t)+{\mu }^2{h}_2(A,\theta ,\mu t)+...$ (5)

Вычислим производную $\dot{x}$ в виде ряда от $\mu$, исходя из выражений (3, 4, 5):

$\dot{x}=i\omega AV{e}^{i\psi }+\mu [f_{1}V{e}^{i\psi }+iA{h}_{1}V{e}^{i\psi }+\omega \frac{\partial u_1}{\partial \psi }]+{\mu }^2[f_{2}V{e}^{i\psi }+iA{h}_{2}V{e}^{i\psi }+\frac{\partial u_1}{\partial (\mu t)}+f_1\frac{\partial u_1}{\partial A}+h_1\frac{\partial u_1}{\partial \psi }+\omega \frac{\partial u_2}{\partial \psi }]+...$ (6)

Нелинейную часть уравнения (1) также представим в виде ряда по малому параметру:

$\mu F(x,\mu ,t)=\mu F_1+{\mu }^2{F}_2+...$ (7)

где $F_1=F(x_0,0,t),F_2=\frac{\partial F(x_0,0,t)}{\partial x}{u}_1+\frac{\partial F(x_0,0,t)}{\partial \mu },...$

Приравнивая в левой и правой частях уравнения (1) члены с одинаковыми степенями малого параметра $\mu$, получаем систему уравнений для определения неизвестных функций $u_j$ из уравнения (3):

$\omega \frac{\partial u_1}{\partial \psi }+G{u}_1=-f_{1}V{e}^{i\psi }-iA{h}_{1}V{e}^{i\psi }+F_1$ (8)

$\omega \frac{\partial u_2}{\partial \psi }+G{u}_2=-f_{2}V{e}^{i\psi }-iA{h}_{2}V{e}^{i\psi }-\frac{\partial u_1}{\partial (\mu t)}-f_1\frac{\partial u_1}{\partial A}-h_1\frac{\partial u_1}{\partial \psi }+F_2$ (9)

$...$

Разложим вектор-функции $u_j,F_j$ в ряды Фурье с медленно меняющимися коэффициентами:

$u_j(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{U}_j^{(m)}(A,\theta ,\mu t)e^{im\psi }$ (10)

$F_j(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_j^{(m)}(A,\theta ,\mu t)e^{im\psi }$ (11)

Далее подставим (10), (11) в (8), (9) и приравняв коэффициенты при каждой гармонике в обеих частях уравнения, получим систему неоднородных уравнений относительно $U_j^{(m)}$.

Для получения уравнений первого приближения из (8), (10), (11) составим уравнение для определения вектор-функции $U_1^{(m)}$

$(G+im\omega E)U_1^{(m)}=-(f_1+iA{h}_1){\delta }_{m1}V+F_1^{(m)}$ (12)

Условие совместности системы (12) при $m=1$ имеет вид:

$-f_{1}CV-iA{h}_{1}CV+C{F}_1^{(1)}=0$ (13)

Разделяя в (13) действительную и мнимую части, находим:

$f_1(A,\theta ,\mu t)=Re[\frac{1}{\sum _{k=1}^{2n}{c}_{kk}}\sum _{k=1}^{2n}\frac{c_{kk}}{V_k}{F}_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)]$ (14)

$h_1(A,\theta ,\mu t)=\frac{1}{A}Im[\frac{1}{\sum _{k=1}^{2n}{c}_{kk}}\sum _{k=1}^{2n}\frac{c_{kk}}{V_k}{F}_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)]$ (15)

Во втором приближении сначала найдем из системы уравнений (12) векторы $U_1^{(m)}$. Учитывая, что при $m=1$ вектор $U_1^{(1)}$ определяется с точностью до произвольной постоянной, его можно представить в виде:

$U_1^{(1)}=A{V}^{(1)}$ (16)

Затем подставим в систему уравнений (9) ряды (10), (11). С учетом (16) получим:

$(G+im\omega E)U_2^{(m)}=-[(f_2+iA{h}_2)V^{(1)}+(f_1+iA{h}_1)V^{(1)}+A(\frac{\partial V^{(1)}}{\partial (\mu t)}+f_1\frac{\partial V^{(1)}}{\partial A}+h_1\frac{\partial V^{(1)}}{\partial \theta })]{\delta }_{m1}-[\frac{\partial U_1^{(m)}}{\partial (\mu t)}+f_1\frac{\partial U_1^{(m)}}{\partial A}+h_1\frac{\partial U_1^{(m)}}{\partial \theta }+im{h}_1{U}_1^{(m)}](1-{\delta }_{m1})+F_{}^{}$ (17)

Из условия совместности системы уравнений (17) при $m=1$ можно определить $f_2$ и $h_2$. Аналогично находятся члены третьего и более высоких приближений. В итоге получаем выражение для вектора состояния системы x

$x=A[V+\mu V^{(1)}(A,\theta ,\mu t)+{\mu }^2{V}^{(2)}(A,\theta ,\mu t)+...]e^{i\psi }+...$ (18)

Здесь амплитуда $A$ и фаза $\theta$ удовлетворяют уравнениям (4), (5).

См. также

• Метод малого параметра

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга