Метод прямоугольников

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0. (Для формулы средних прямоугольников равен 1).

Если отрезок $[a,b]$ является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по

1. Формуле левых прямоугольников: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx f(a)(b-a).$
2. Формуле правых прямоугольников: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx f(b)(b-a).$
3. Формуле прямоугольников (средних): $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a).$

Составные квадратурные формулы

В случае разбиения отрезка интегрирования на $n$ элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

1. Для левых прямоугольников: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i).$
2. Для правых прямоугольников: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(x_i)(x_i-x_{i-1}).$
3. Для средних прямоугольников: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)(x_{i+1}-x_i)=\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)(x_i-x_{i-1}).$

Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.

Поскольку составные квадратурные формулы являются ни чем иным, как суммами, входящими в определение интеграла Римана, при $n\to \mathrm{\infty }$ они сходятся к точному значению интеграла. Соответственно, с увеличением $n$ точность получаемого по приближённым формулам результата возрастает.

Метод средних прямоугольников

Составные формулы для равномерных сеток

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

$x_i=a+ih,h=\frac{b-a}{n},$

где $h$ — шаг сетки.

Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса:

1. Составная формула левых прямоугольников: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx h\sum _{i=0}^{n-1}{f}_i=h(f_0+f_1+\dots +f_{n-1}).$
2. Составная формула правых прямоугольников: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx h\sum _{i=1}^n{f}_i=h(f_1+f_2+\dots +f_n).$
3. Составная формула средних прямоугольников: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx h(f_{0,5}+f_{1,5}+\dots +f_{n-0,5}).$

Погрешность методов

Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет

$E(f)=\frac{f^{\prime }(\xi )}{2}{h}^2.$

Для формулы прямоугольников (средних)

$E(f)=\frac{f^{″}(\xi )}{24}{h}^3.$

Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:

$E(f)=\frac{f^{\prime }(\xi )}{2}{h}^2\cdot n=\frac{f^{\prime }(\xi )}{2}(b-a)h.$

Для составной формулы средних прямоугольников:

$E(f)=\frac{f^{″}(\xi )}{24}{h}^3\cdot n=\frac{f^{″}(\xi )}{24}(b-a)h^2.$

Пример реализации

Формула средних прямоугольников для аналитически заданной функции, написанная на С

double InFunction(double x) { //Подынтегральная функция
  return 0;

double CalcIntegral(double a, double b, int n) {
  double result = 0, h = (b - a) / n;
  
  for(int i = 0; i < n; i++) {
    result += InFunction(a+h/2+i*h);
  }
  
  result *= h;
  return result;
}

См. также

• Формула Симпсона
• Метод трапеций
• Список квадратурных формул