Метод стационарной фазы

Метод стационарной фазы — метод, использующийся для аппроксимации интегралов вида $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{i\lambda \varphi (x)}\mathrm{\Phi }(x)dx$.

Основы

Основная идея метода стационарной фазы заключается в сокращении синусоид с быстро меняющейся фазой. Если много синусоид имеют одинаковые фазы, то они складываются, усиливая друг друга. Однако если эти же синусоиды имеют фазы, быстро меняющиеся с изменением частоты, они будут складываться, то усиливая, то ослабляя друг друга.

Пример

Рассмотрим функцию

$f(x,t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{ℝ}F(\omega )e^{i(k(\omega )x-\omega t)}d\omega .$

Фазовое слагаемое в этой функции, $\varphi =k(\omega )x-\omega t$ является «стационарным» когда

$\frac{d}{d\omega }(k\left(\omega \right)x-\omega t)\approx 0$

или, эквивалентно,

$\frac{d\omega }{dk}\approx \frac{x}{t}.$

Корень этого уравнения даёт доминирующую частоту ${\omega }_{\text{dom}}(x,t)$ для заданных $x$ и $t$. Если мы разложим φ в ряд Тейлора вблизи ${\omega }_{\text{dom}}$ и пренебрежём слагаемыми старшего порядка по отношению к $(\omega -{\omega }_{\text{dom}}{)}^2$, то

$\varphi \sim k({\omega }_{\text{dom}})x-{\omega }_{\text{dom}}t+\frac{x}{2}\frac{d^{2}k}{d{\omega }^2}(\omega -{\omega }_{\text{dom}}{)}^2.$

Когда x большое, даже малая разница $\omega -{\omega }_{\text{dom}}$ обеспечит быстрые осцилляции в подынтегральном выражении, приводя к сокращению. Таким образом, мы можем расширить границы интегрирования вне границы разложения в ряд Тейлора. Чтобы учесть отрицательные частоты, необходимо удвоить действительную часть:

$f(x,t)=\frac{1}{2\pi }2\mathrm{Re}\{\exp (i[k({\omega }_{\text{dom}})x-{\omega }_{\text{dom}}t])|F({\omega }_{\text{dom}})|{\int }_{ℝ}\exp (i\frac{x}{2}\frac{d^{2}k}{d{\omega }^2}(\omega -{\omega }_{\text{dom}}{)}^2)d\omega \}.$

Проинтегрировав, имеем

$f(x,t)\sim \frac{|F({\omega }_{\text{dom}})|}{\pi }\sqrt{\frac{2\pi }{x\left|\frac{d^{2}k}{d{\omega }^2}\right|}}\cos (k({\omega }_{\text{dom}})x-{\omega }_{\text{dom}}t\pm \frac{\pi }{4}).$

Книги

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Метод перевала
• Метод Лапласа