Механика контактного взаимодействия

Напряжения в области контакта при одновременном нагружении нормальной и касательной силой. Напряжения определены методом фотоупругости

Механика контактного взаимодействия занимается расчётом упругих, вязкоупругих и пластичных тел при статическом или динамическом контакте. Механика контактного взаимодействия является основополагающей инженерной дисциплиной, обязательной при проектировании надёжного и энергосберегающего оборудования. Она будет полезна при решении многих контактных задач, например, колесо-рельс, при расчёте муфт, тормозов, шин, подшипников скольжения и качения, двигателей внутреннего сгорания, шарниров, уплотнений; при штамповке, металлообработке, ультразвуковой сварке, электрических контактах и др. Она охватывает широкий спектр задач, начиная от расчётов прочности элементов сопряжения трибосистемы с учётом смазывающей среды и строения материала, до применения в микро- и наносистемах.

История

Классическая механика контактных взаимодействий связана, прежде всего, с именем Генриха Герца. В 1882 году Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривлёнными поверхностями. Этот классический результат и сегодня лежит в основе механики контактного взаимодействия. Лишь столетие спустя Джонсон, Кендал и Робертс нашли аналогичное решение для адгезионного контакта (JKR — теория).

Дальнейший прогресс механики контактного взаимодействия в середине 20-го столетия связан с именами Боудена и Тейбора. Они первые указали на важность учёта шероховатости поверхности контактируемых тел. Шероховатость приводит к тому, что действительная площадь контакта между трущимися телами намного меньше кажущейся площади контакта. Эти представления существенно изменили направление многих трибологических исследований. Работы Боудена и Тейбора вызвали появление ряда теорий механики контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.

Пионерскими работами в этой области являются работы Архарда (1957), который пришёл к заключению, что при контакте упругих шероховатых поверхностей площадь контакта примерно пропорциональна нормальной силе. Дальнейший важный вклад в теорию контакта шероховатых поверхностей внесли Гринвуд и Виллиамсон (1966) и Перссон (2002). Главным результатом этих работ является доказательство того, что действительная площадь контакта шероховатых поверхностей в грубом приближении пропорциональна нормальной силе, в то время как характеристики отдельного микроконтакта (давление, размер микроконтакта) слабо зависят от нагрузки.

Классические задачи механики контактного взаимодействия

Контакт между шаром и упругим полупространством

Контакт между шаром и упругим полупространством

Твёрдый шар радиуса $R$ вдавливается в упругое полупространство на глубину $d$ (глубина проникновения), образуя область контакта радиуса $a=\sqrt{Rd}$.

Необходимая для этого сила равна

$F=\frac{4}{3}{E}^{*}{R}^{1/2}{d}^{3/2}$,

причём

$\frac{1}{E^{*}}=\frac{1-{\nu }_1^2}{E_1}+\frac{1-{\nu }_2^2}{E_2}$.

$E_1$ и $E_2$ здесь модули упругости, а ${\nu }_1$ и ${\nu }_2$ — коэффициенты Пуассона обоих тел.

Контакт между двумя шарами

При контакте двух шаров с радиусами $R_1$ и $R_2$ эти уравнения справедливы соответственно для радиуса $R$

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

Распределение давления в площади контакта рассчитывается как

$p=p_0{(1-\frac{r^2}{a^2})}^{1/2}$

с

$p_0=\frac{2}{\pi }{E}^{*}{\left(\frac{d}{R}\right)}^{1/2}$.

Максимальное касательное напряжение достигается под поверхностью, для $\nu =0,33$ при $z\approx 0,49a$ .

Контакт между двумя скрещивающимися цилиндрами с одинаковыми радиусами $R$

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами эквивалентен контакту между шаром радиусом $R$ и плоскостью (см.выше).

Контакт между твёрдым цилиндрическим индентором и упругим полупространством

Контакт между твердым цилиндрическим индентором и упругим полупространством

Если твёрдый цилиндр радиусом a вдавливается в упругое полупространство, тo давление распределяется следующим образом

$p=p_0{(1-\frac{r^2}{a^2})}^{-1/2}$,

причём

$p_0=\frac{1}{\pi }{E}^{*}\frac{d}{a}$.

Связь между глубиной проникновения и нормальной силой определяется

$F=2a{E}^{*}d\frac{}{}$.

Контакт между твёрдым коническим индентором и упругим полупространством

Контакт между конусом и упругим полупространством

При индентировании упругого полупространства твёрдым конусообразным индентером глубина проникновения и радиус контакта связаны следующим соотношением:

$d=\frac{\pi }{2}a\tan \theta$.

$\theta$ есть угол между горизонталью и боковой плоскостью конуса. Распределение давления определяется формулой

$p(r)=-\frac{Ed}{\pi a(1-{\nu }^2)}ln(\frac{a}{r}-\sqrt{{\left(\frac{a}{r}\right)}^2-1})$ .

Напряжение в вершине конуса (в центре области контакта) изменяется по логарифмическому закону. Суммарная сила рассчитывается как

$F_N=\frac{2}{\pi }E\frac{d^2}{\tan \theta }$.

Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями

Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями

В случае контакта между двумя упругими цилиндрами с параллельными осями сила прямо пропорциональна глубине проникновения:

$F=\frac{\pi }{4}{E}^{*}Ld$.

Радиус кривизны в этом соотношении вообще не присутствует. Полуширина контакта определяется следующим отношением

$a=\sqrt{Rd}$ ,

с

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$,

как и в случае контакта между двумя шарами. Максимальное давление равно

$p_0={\left(\frac{E^{*}F}{\pi LR}\right)}^{1/2}$.

Контакт между шероховатыми поверхностями

Когда два тела с шероховатыми поверхностями взаимодействуют друг с другом, реальная площадь контакта $A$ намного меньше, чем видимая площадь $A_0$. При контакте между плоскостью со случайно распределённой шероховатостью и упругим полупространством реальная площадь контакта пропорциональна нормальной силе $F$ и определяется следующим уравнением:

$A=\frac{\kappa }{E^{*}{h}^{\prime }}F$

При этом $h^{\prime }$ — среднеквадратичное значение неровности плоскости и $\kappa \approx 2$. Среднее давление в реальной площади контакта

$\sigma =\frac{F}{A}\approx \frac{1}{2}{E}^{*}{h}^{\prime }$

рассчитывается в хорошем приближении как половина модуля упругости $E^{*}$, умноженная на среднеквадратичное значение неровности профиля поверхности $h^{\prime }$. Если это давление больше твёрдости ${\sigma }_0$ материала и, таким образом

$\mathrm{\Psi }=\frac{E^{*}{h}^{\prime }}{{\sigma }_0}>2$,

то микронеровности находятся полностью в пластичном состоянии. Для $\mathrm{\Psi }<\frac{2}{3}$ поверхность при контакте деформируется только упруго. Величина $\mathrm{\Psi }$ была введена Гринвудом и Виллиамсоном и носит название индекса пластичности. Факт деформирования тела, упругого или пластического, не зависит от приложенной нормальной силы.

Адгезивный контакт

Феномен адгезии проще всего наблюдать в контакте твердого тела с очень мягким упругим телом, например, с желе. При прикосновении тел в результате действия сил Ван дер Ваальса возникает адгезионная шейка.  Для того чтобы тела опять разорвать, необходимо приложить некоторую минимальную силу, именуемую силой адгезии. Аналогичные явления имеют место в контакте двух твердых тел, разделенных очень мягким слоем, как например, в стикере или в пластыре. Адгезия может как представлять технологический интерес, например, в клеевом соединении, так и являться мешающим фактором, например, препятствующим быстрому открытию эластомерных клапанов.

Сила адгезии между параболическим твердым телом и упругим полупростанством впервые была найдена в 1971 г. Джонсоном, Кендаллом и Робертсом. Она равна

$F_A=(3/2)\pi \gamma R$,

где $\gamma$ есть энергия отрыва на единицу площади, а $R$ радиус кривизны тела.

Сила адгезии плоского цилиндрического штампа радуса $a$ была найдена также в 1971 году Кендаллом. Она равна

$F_A=\sqrt{8\pi a^3{E}^{*}\gamma }$,

Более сложные формы начинают отрываться "с краев" формы, после чего фронт отрыва растпростаняется к центру до достижения некоторого критического состояния. Процесс отрыва адгезивного контакта можно наблюдать в исследовании.

Метод редукции размерности

Замещение трехмерного профиля одномерным

Многие задачи механики контактного взаимодействия могут быть легко решены методом редукции размерности. В этом методе исходная трехмерная система замещается на одномерное упругое или вязкоупругое основание (рисунок). Если параметры основания и форма тела выбраны на основе простых правил метода редукции, то макроскопические свойства контакта совпадают точно со свойствами оригинала.

Энергия при упругом контакте

К. Л. Джонсон, К. Кендал и А. Д. Робертс (JKR — по первым буквам фамилий) взяли эту теорию за основу при вычислении теоретического сдвига или глубины вдавливания при наличии адгезии в их значимой статье «Поверхностная энергия и контакт упругих твёрдых частиц», изданной в 1971 в трудах Королевского Общества. Теория Герца вытекает из их формулировки, при условии, если адгезия материалов равна нулю.

Подобно этой теории, но на основе других предположений, в 1975 Б. В. Дерягин, В. М. Мюллер и Ю. П. Топоров разработали другую теорию, которая среди исследователей известна как теория DMT, и из которой также вытекает формулировка Герца при условии нулевой адгезии.

Теория DMT в дальнейшем была несколько раз пересмотрена прежде, чем она была принята как ещё одна теория контактного взаимодействия в дополнение к теории JKR.

Обе теории, как DMT так и JKR, являются основой механики контактного взаимодействия, на которых базируются все модели контактного перехода, и которые используются в расчётах наносдвигов и электронной микроскопии.

Литература

• K. L. Johnson: Contact mechanics. Cambridge University Press, 6. Nachdruck der 1. Auflage, 2001.
• Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer-Verlag, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.
• Popov, Valentin L.: Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications, Springer-Verlag, 2010, 362 p., ISBN 978-3-642-10802-0.
• В. Л. Попов: Механика контактного взаимодействия и физика трения, М: Физматлит, 2012, 348 c, ISBN 978-5-9221-1443-1.
• I. N. Sneddon: The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci., 1965, v. 3, pp. 47—57.
• S. Hyun, M. O. Robbins: Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Trobology International, 2007, v.40, pp. 1413—1422.
• V.L. Popov: Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales. Friction, 2013, v.1, N. 1, pp. 41—62.