Минимизирующая последовательность

Минимизирующая последовательность — конструкция, используемая в вариационном исчислении и математической оптимизации для задачи нахождения минимального значения функции (функционала) и задачи отыскания элемента, на котором функция принимает минимальное значение.

Формально, последовательность $\{x_i\}$ ($x_i\in M$) для непрерывной функции $f$, определённой на множестве $M$, называется минимизирующей, если последовательность значений $\{f(x_i)\}$ стремится к точной нижней грани значений данной функции на $M$:

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=\underset{x\in M}{\inf }f(x)$.

Минимизирующие последовательности не обязательно сходятся к элементу $x^{\star }$, в котором достигается минимум $\inf f(x)=f(x^{\star })$, то есть $li{m}_{i\to \mathrm{\infty }}{x}_i\ne x^{\star }$ в общем случае. Если же всякая минимизирующая последовательность сходится к элементу $x^{\star }$, то задача минимизации функции $f$ на $M$ называется устойчивой. Методы решения устойчивых задач минимизации с использованием минимизирующих последовательностей подразделяются на три класса: прямые (не используют производные функции), методы спуска (использующие первые производные, например, метод градиентного спуска), и алгоритмы с использованием производных высших порядков.

Для решения неустойчивых задач минимизации для построения минимизирующих последовательностей используются методы регуляризации.

См. также

• Шаблон:Нп2

Ссылки

• Шаблон:Из