Многочлен HOMFLY

Многочлен HOMFLY — инвариант зацепления в форме многочлена двух переменных.

Является одним из самых чувствительных инвариантов зацеплений. В частности, многочлены Джонса и Александера выражаются через HOMFLY подстановками. В то же время HOMFLY вычисляется проще вышеназванных многочленов.

Название HOMFLY объединяет инициалы его авторов: Джима Хоста, Адриана Окняну, Кеннета Миллетта, Питера Дж. Фрейда, У. Б. Р. Ликориша и Дэвида Н. Йеттера. Иногда многочлен называют HOMFLY-PT, указывая на связанную независимую работу Юзефом Х. Пшитицким и Павлом Трачиком.

Определение

HOMFLY зацепления — многочлен двух переменных m и l и определяется скейн-соотношением:

$P(\text{тривиальный узел})=1,$

$\ell P(L_{+})+{\ell }^{-1}P(L_{-})+mP(L_0)=0,$

где $L_{+},L_{-},L_0$ — зацепления, образованные перестройками у одного пересечения диаграммы, как показано на рисунке.

Многочлен HOMFLY зацепления L, которое является разделённым объединением двух зацеплений $L_1$и $L_2$, задаётся как

$P(L)=\frac{-(\ell +{\ell }^{-1})}{m}P(L_1)P(L_2).$

Свойства

• HOMFLY мултипликативен относительно связной суммы узлов:

  $P(L_1\mathrm{\#}{L}_2)=P(L_1)\cdot P(L_2).$

• Если $K^{\prime }$ — отражение зацепления $K$, то

  $P_K(\ell ,m)=P_{K^{\prime }}({\ell }^{-1},m),$.

  • В частности, многочлен HOMFLY можно использовать для различения двух узлов разной хиральности. Однако существуют хиральные пары узлов, которые имеют один и тот же многочлен HOMFLY, например, узлы 9₄₂ и 10₇₁

Литература

• Шаблон:Книга