Модель Диксита — Стиглица — Кругмана

Модель Диксита—Стиглица—Кругмана — макроэкономическая модель образования агломераций в условиях монополистической конкуренции и экономии от масштаба, являющаяся базисной для Шаблон:Нп5 и созданная экономистами Авинашем Дикситом, Джозефом Стиглицем и Полом Кругманом.

История

В книге Э. Чемберлина «Теория монополистической конкуренции» от 1933 года (изложенная ранее в диссертации 1927 года), а через пару месяцев в работе Дж. Робинсон «Экономическая теория несовершенной конкуренции» также 1933 года вводятся понятия и допущения, характерные для монополистической конкуренции.

Модель монополистической конкуренции возникла в совместной статье А. Диксита и Дж. Стиглица «Монополистическая конкуренция и оптимальное продуктовое разнообразие» 1977 года (на основе совместной работы 1975 года в Университете Варвик).

Данную модель дополнил и переработал в своих статьях Пол Кругман «Возрастающая отдача, монополистическая конкуренция и международная торговля» 1979 года и «Экономия от масштаба, дифференциация продуктов и структура торговли» 1980 года, после чего была монография А. Диксита и Шаблон:Нп5 1980 года, а после работа Э. Хелпмана и П. Кругмана «Рыночная структура и внешняя торговля» 1985 года. П. Кругман дополнил анализ статьей «Возрастающая отдача и экономическая география» в 1991 году, а работа «Пространственная экономика» М. Фуджиты, П. Кругмана и Шаблон:Нп5 в 1999 году окончательно сформировала модель Диксита — Стиглица — Кругмана.

Базовая модель

Допущения

П. Кругман дополняет базовую модель монополистической конкуренции (модель Диксита — Стиглица), интегрируя возрастающую отдачу от масштаба с несовершенной конкуренцией.

Модель имеет ряд допущений:

• Все потребители одинаковы (имеют одинаковые предпочтения)
• Потребители потребляют всего два товара (промышленные и сельскохозяйственные товары)
• Потребители имеют функцию предпочтения формы Кобба — Дугласа:

$U=M^a{A}^{1-a}$,

где А – потребление агрегированного сельскохозяйственного товара, М – подфункция полезности от потребления этих товаров (индекс потребления этих товаров), a - постоянная доля каждого вида товаров в бюджете потребителей.

• Предпочтения промышленных товаров описываются функцией с постоянной эластичностью замещения:

$M=(\underset{0}{\overset{n}{\int }}m(i{)}^{p}di{)}^{1/p}$,

где 0<p<1, n — разновидности промышленных товаров, каждая потребляется в объеме m (i), i – номер разновидности товара, p — степень заменяемости двух любых разновидностей друг другом.

• Эластичность замещения между разновидностями промышленных товаров:

$b=1/(1-p)$,

• Бюджетное ограничение потребителя:

$Y=p^{A}A+\underset{0}{\overset{n}{\int }}p(i)m(i)di$,

где $p^A$ — цена единицы продуктов питания, $p(i)$ - цена единицы промышленного товара разновидности i, Y – доход потребителя, который максимизирует полезность при ограниченном бюджете.

• Компенсированный спрос:

$m(j)=(p(j)/G{)}^{-b}M$,

где G – индекс цен на промышленные товары, М – индекс потребления промышленных товаров (аналог их количества)

Максимизация полезности потребителя:

$maxU=M^a{A}^{1-a}$,

при $Y=GM+p^{A}A$

Некомпенсированный спрос потребителя на сельскохозяйственные товары: $A=(1-a)Y/p^A$,

Некомпенсированный спрос потребителя на промышленные товары: $m(j)=aYp(j{)}^{-b}/G^{-(b-1)}$, для j є[0,n],

Максимизированная полезность потребителя: $U=a^a(1-a{)}^{1-a}Y{G}^{-a}(p^A{)}^{-(1-a)}$,

где $G^a(p^A{)}^{1-a}$ - агрегированный индекс цен, отражающий стоимость жизни для потребителей

Цены на все промышленные товары: $G=p^M{n}^{1/(1-b)}$.

Айсберг

Включаем транспортные издержки, когда сельскохозяйственные и промышленные товары перевозятся между городами с издержками, так что из каждой единицы, отправленного из города r в город s доезжает меньше, разница тает по дороге (технологию транспортировки айсберга):

$G_s=(\sum _{r=1}^R{n}_r(p_r^M{T}_{rs}^M{)}^{1-b}{)}^{1/(1-b)}$, s=1,…,R,

где $G_s$ — индекс цен в городе s, R – различные города, $n_r$ - производство разновидностей в городе r, $p_r^M$ - цена у ворот завода, $p_{rs}^M=p_r^M{T}_{rs}^M$— цена товара, привезенного в город s из r.

Суммарный спрос по всем городам s на разновидность товара, произведенную в городе r:

$q_r^M=a\sum _{s=1}^R{Y}_s(p_r^M{T}_{rs}^M{)}^{-b}{G}_s^{1-b}{T}_{rs}^M$,

Задача производителя

Производство сельскохозяйственных товаров происходит с постоянной отдачей в условиях совершенной конкуренции, а производство промышленных товаров происходит в условиях экономии масштаба, который возникает из-за уровня разнообразия, но не за счет объема или множественности операций. Технология одинакова для всех разнообразий и во всех локациях (городах), а при условиях единственного фактора производства (труда) общие затраты на производство промышленных товаров составят:

$l^M=F+c^M{q}^M$,

где $F$ — постоянные издержки труда, $c^M$ — предельные затраты труда, $q^M$ — количество продукции.

Так как потребители получают полезность от разнообразия, а количество разновидностей не ограничено, то каждый производитель создает свой продукт, таким образом в каждой местности находится своя специализированная фирма.

Прибыль фирмы, работающие в городе r:

$h_r=p_r^M{q}_r^M-w_r^M(F+c^M{q}_r^M)$,

где $w_r^M$ — стоимость единицы труда работников, занятых в производстве промышленных товаров в городе r.

При заданном индексе цен $G_s$, с учетом эластичности спроса, максимизирующая прибыль подразумевает:

$p_r^M=w_r^M{c}^{M}b/(b-1)$,

$q^E=F(b-1)/c^M$, при h=0

где $q^E$ — выпуск фирмы в ситуации равновесия, не зависящий от расположения фирмы, размера рынка, а только от параметров технологии и эластичности спроса, когда менее эластичный спрос (при меньшей величине b) уменьшает размеры фирм и увеличивает количество разновидностей при заданном бюджете потребителей

$l^E=F+c^M{q}^E=Fb$, при h=0

где $l^E$, - спрос фирмы на труд в ситуации равновесия

$n_r^E=L_r^M/l^E=L_r^M/Fb$, при h=0

где число фирм в городе r, в котором предлагается $L_r^M$ в условиях равновесия. Отсюда размер рынка не влияет ни на процент надбавки к предельным издержкам, ни на масштаб производства отдельных товаров. Возрастающая отдача от масштаба работает через изменения в ассортименте (разнообразии) товаров.

Уравнение для оплаты труда

Уравнение оплаты труда при производстве промышленных товаров в условиях равновесия, то есть производители, максимизируя прибыль, находятся в точке безубыточности, а потребители максимизируют полезность с учетом бюджетного ограничения:

$w_r^M=((b-1)/c^{M}b)(a/q^E\sum _{s=1}^R{Y}_s(T_{rs}^M{)}^{1-b}{G}_s^{b-1}{)}^{1/b}$,

Оплата труда выше, чем ниже транспортные издержки, богаче рынки сбыта фирмы и выше уровень цен на этих рынках, лучший доступ на этот рынок, меньше конкуренции на рынке.

Реальный уровень зарплаты сотрудников промышленности в местности r:

$w_r^M=w_r^M{G}^{-a}(p^A{)}^{-(1-a)}$,

Реальный доход в каждой точке пропорционален номинальному доходу с поправкой на индекс стоимости жизни: $G^a(p^A{)}^{1-a}$

Нормализация

Сделав ряд допущений: при $c^m=(b-1)/b=p$ и $p_r^M=w_r^M$, чтобы $n_r^E=L_r^M/a$, а $F=a/b$, тогда $q^E=l^E=a$:

$G_r=(1/a\sum _{s=1}^R{L}_s^M(w_s^M{T}_{rs}^M{)}^{(}1-b){)}^{1/(1-b)}$

$w_r^M=(\sum _{s=1}^R{Y}_s(T_{rs}^M{)}^{(1-b)}{G}_s^{b-1}{)}^{1/b}$,

Два последних уравнения характеризуют равновесие и устойчивость модели, что смещает анализ от количества производителей и цен на продукты к анализу количества промышленных рабочих и к уровню их зарплаты.

Эффект индекса цен и эффект домашнего рынка

При условии существовании двух городов, транспортные издержки внутри каждого города равны нулю. $(1-b)dG/G=L/a(G/w{)}^{b-1}(1-T^{1-b})(dL/L+(1-b)dw/w)$,

$bdw/w=Y/w(G/w{)}^{b-1}(1-T^{1-b})(dY/Y+(1-b)dG/G)$,

Отсюда отмечаем эффект индекса цен — прямой эффект изменения в распределении промышленности от индекса промышленных товаров. Предложение труда совершенно эластично $dw=0$, таким образом увеличение занятости в промышленности снижает индекс цен (при 1-b<0 и T>1). Снижение цен происходит из-за уменьшения числа перевозок разновидностей товара из одного города в другой, что приводит к снижению общих транспортных расходов.

Эффект будет слабее (нивелирован) при неэластичном предложении труда и низких фиксированных издержках $dw>0$, то есть при высокой конкуренции на рынке труда со стороны нанимателей.

$(b/Z+Z(1-b))dw/w+ZdL/L=dY/Y$,

где $Z=(1-T{)}^{1-b}/(1+T{)}^{1-b}$,

Отсюда отмечаем Шаблон:Нп5 — более крупный рынок производит больше товаров и экспортирует промышленные товары из-за того, что рост спроса увеличивает число разновидностей товара на рынке, что снижает индекс цен, при прочих равных условиях. При совершенно эластичном предложении рабочей силы (dw=0) увеличение спроса на 1% ведет к увеличению занятости, а значит и производства, более чем на 1%. При dw>0 часть расходов уходит в рост зарплат, а значит при прочих равных условиях на более крупных рынках более высокие номинальные и реальные зарплаты. А в целом дает кумулятивный эффект для создания агломерации: небольшой прирост спроса вызывает диспропорционально больший прирост занятости, а значит еще прирост спроса и т.д.

Условия отсутствия черной дыры

При рассмотрении закрытой экономики при Z=1:

$dw/w=(1-a)dY/Y+(ab/(b-1)-1)dL/L$,

При условии (1-a)>0, рост дохода увеличивает реальную зарплату при фиксированной занятости, поскольку производители производят больше, а труд единственный фактор производства.

При росте занятости в промышленном секторе закрытой экономики до уровня постоянных расходов (dY=0), постоянных номинальных доходах и при фиксированном спросе, реальная зарплата стремится к снижению (бюджет потребителей фиксирован и распределяется на большее число работников). Однако рост занятости в производстве увеличивает количество разновидностей изготовления продукции, уменьшает G, и стремится повысить реальный доход. Последний эффект может быть сильней предыдущего: при сильном эффекте экономии от масштаба экономика страны начинает агломерировать в единую точку. Чтобы исключить ситуацию, когда прирост занятости будет увеличивать реальную зарплату в одном городе, а в этот город начнут приезжать еще рабочие, от этого зарплата будет расти и т.д., пока этот город не соберет всех рабочих в экономике, то есть станет «черной дырой» на рынке труда, используем условие отсутствия «черной дыры»:

$(ab/(b-1)-1)<0$ или $(b-1)/b=p>a$.

Модель «центр-периферия»

Распределение промышленности между двумя регионами, изначально поровну наделёнными трудовыми ресурсами. Сплошной линией обозначено устойчивое равновесие, пунктирной — неустойчивое равновесие; K — точка бифуркации

Задаем динамику перемещения работников между городами: рабочие едут в регионы, в которых реальная зарплата выше средневзвешенной, из регионов, где реальная зарплата ниже средневзвешенной:

$d{v}_r/dt=y(w_r-\sum _r{v}_r{w}_r)v_r=0$,

где производство сельскохозяйственной продукции имеет постоянную экономию от масштаба и бесплатный провоз; фермеры получают одинаковую зарплату во всех регионах ($w^A=p^A=1$); а промышленные с издержками $1/T_{rs}$ единиц; рабочие не могут быть фермерами, и наоборот; модель двухсекторная (сельскохозяйственный и промышленный сектор); суммарное фиксированное предложение фермеров ($L^A$) и рабочих ($L^M$); в каждом регионе (r) фиксированная доля общего числа фермеров ($f_r$) и рабочих ($v_r$); $L^M=a$ и $L^A=1-a$; a — параметр предпочтения потребителей, технологии производства промышленных товаров и предложения труда.

Равновесие в модели наступает при решении системы 4R уравнений, определяющих доход потребителей ($Y_r$), индекс цен на промышленные товары ($G_r$), номинальные ($w_r^M$) и реальные зарплаты ($w_r$):

$Y_r=a{v}_r{w}_r+(1-a)f_r$,

$G_r=(\sum _{s=1}^R{v}_s(w_s^M{T}_{sr}^M{)}^{1-b}{)}^{1/(1-b)}$,

$w_r^M=(\sum _{s=1}^R{Y}_s(T_{sr}^M{)}^{1-b}{G}_s^{b-1}{)}^{1/b}$,

$w_r=w_r{G}_r^{-a}$.

При относительно высоких транспортных издержках равновесие (устойчивое) наступает при симметрическом распределении рабочих по регионам. При относительно низких транспортных издержках равновесие неустойчиво, а значит, при любом колебании происходит полное концентрация в одном из регионов. При средних транспортных издержках модель имеет пять равновесий, два из которых неустойчиво: при большом или малом v равновесие с полной концентрацией промышленности в одном из регионов, в противном случае – симметрическое равновесие, которые отражены на диаграмме, что позволяет модель Диксита—Стиглица—Кругмана использовать в качестве базовой Новой экономической географии.

Заключение

• При допущении постоянной отдачи от масштаба в условиях совершенной конкуренции цены на рынке формируются на уровне предельных издержек фирм, что приводит к проблеме делимости, то есть производственная деятельность делится без потерь эффективности до того момента, когда транспортные издержки равны нулю, превращая любой регион в автаркию. Возрастающая отдача от масштаба возникает из-за различий производителей, которые, концентрируясь, позволяют повышать эффективность в торговле, промышленности и управлении, и из-за роста населения, которое позволяет достичь роста хозяйственной деятельности на агрегированном уровне. Возрастающая отдача от масштаба в условиях совершенной конкуренции невозможна в связи с тем, что приводит к концентрации производства и её агломерации, к дифференциации (разнообразию) товаров и услуг и в итоге к монополистической конкуренции, при которой ценообразование происходит не на уровне предельных издержек, чтобы не фиксировать убытки.
• В случае нахождении равновесия происходит обмен между рынками товаров с учетом издержек торговли. Одинаковые потребители получают полезность от наличия выбора среди разновидностей одного и того же товара. Уровень полезности от набора зависит от эластичности замещения между этими товарами. Оптимальное количество фирм на рынке зависит от эластичности замещения и от размера постоянных издержек фирм, и стремится к единице.
• Регионы с большим спросом на промышленную продукцию, в которой наблюдается возрастающая отдача от масштаба, имеют большую долю в объеме производства и большую долю чистого экспорта промышленных товаров.
• Рост рынка увеличивает спрос на факторы производства, что приводит к увеличению цен этих факторов, - в регионах с большим реальным доходом более высокие заработные платы.
• Мобильные факторы производства (труд и капитал) склоны к миграции на рынки, на которых фирмы выплачивают относительно высокое вознаграждение.
• Фирмы принимают решение о месте своего размещения на основе принципа максимума прибыли.
• Изменения во внешнем окружении меняют равновесие, определяющее пространственное распределение рабочих и фирм.