Модель Пламмера

Модель Пламмера, также сфера Пламмера (Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-en) — закон распределения плотности, впервые применённый Г. Пламмером при исследовании шаровых скоплений. Часто используется в виде упрощённой модели в рамках моделирования в задаче N тел.

Описание модели

Трёхмерный профиль плотности в модели Пламмера имеет вид

${\rho }_P(r)=\frac{3M_0}{4\pi a^3}{(1+\frac{r^2}{a^2})}^{-\frac{5}{2}},$

где $M_0$ — полная масса моделируемого объекта, a — так называемый радиус Пламмера, масштабный параметр, устанавливающий характерный размер ядра системы. Соответствующий потенциал имеет вид

${\mathrm{\Phi }}_P(r)=-\frac{G{M}_0}{\sqrt{r^2+a^2}},$

где G обозначает гравитационную постоянную. Дисперсия скоростей составляет

${\sigma }_P^2(r)=\frac{G{M}_0}{6\sqrt{r^2+a^2}}.$

Функция распределения имеет вид

$f(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v})=\frac{24\sqrt{2}}{7{\pi }^3}\frac{N{a}^2}{G^5{M}_0^5}(-E(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v}){)}^{7/2},$

если $E<0$, и $f(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v})=0$ в другом случае. Здесь $E(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v})=\frac{1}{2}{v}^2+{\mathrm{\Phi }}_P(r)$ показывает энергию в расчёте на единицу массы.

Свойства

Масса внутри сферы радиуса $r$:

$M(<r)=4\pi \underset{0}{\overset{r}{\int }}r{\text{'}}^2{\rho }_P(r^{\prime })d{r}^{\prime }=M_0\frac{r^3}{(r^2+a^2{)}^{3/2}}.$

Многие свойства модели Пламмера описаны в статье Хервига Дейонге.

Радиус ядра $r_c$, на котором плотность падает до половины значения в центре, равен $r_c=a\sqrt{\sqrt{2}-1}\approx 0.64a$.

Радиус, внутри которого заключена половина массы, $r_h={(\frac{1}{0.5^{2/3}}-1)}^{-0.5}a\approx 1.3a.$

Вириальный радиус составляет $r_V=\frac{16}{3\pi }a\approx 1.7a$.

Двумерная поверхностная плотность равна

$\mathrm{\Sigma }(R)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\rho (r(z))dz=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{3a^2{M}_{0}dz}{4\pi (a^2+z^2+R^2{)}^{5/2}}=\frac{M_0{a}^2}{\pi (a^2+R^2{)}^2}$,

следовательно, двумерный профиль распределения массы:

$M(R)=2\pi \underset{0}{\overset{R}{\int }}\mathrm{\Sigma }(R^{\prime })R^{\prime }d{R}^{\prime }=M_0\frac{R^2}{a^2+R^2}$.

В астрономии бывает необходимо определять также радиус, внутри которого содержится половина массы в рамках двумерного распределения $M(R_{1/2})=M_0/2$.

Для модели Пламмера $R_{1/2}=a$.

Точки поворота орбиты частицы по радиусу характеризуются удельной энергией $E=\frac{1}{2}{v}^2+\mathrm{\Phi }(r)$ и удельным угловым моментом $L=|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}|$, соответствующие значения расстояний можно найти как корни кубического уравнения

$R^3+\frac{G{M}_0}{E}{R}^2-(\frac{L^2}{2E}+a^2)R-\frac{G{M}_0{a}^2}{E}=0,$

где $R=\sqrt{r^2+a^2}$, поэтому $r=\sqrt{R^2-a^2}$. Это уравнение имеет три вещественных корня $R$: два положительных и одно отрицательное, при $L<L_c(E)$, где $L_c(E)$ является удельным угловым моментом для круговой орбиты с той же энергией. $L_c$ можно вычислить на основе единственного вещественного корня дискриминанта кубического уравнения, который сам по себе является кубическим уравнением

$\underset{\_}{E}{\underset{\_}{L}}_c^3+(6{\underset{\_}{E}}^2{\underset{\_}{a}}^2+\frac{1}{2}){\underset{\_}{L}}_c^2+(12{\underset{\_}{E}}^3{\underset{\_}{a}}^4+20\underset{\_}{E}{\underset{\_}{a}}^2){\underset{\_}{L}}_c+(8{\underset{\_}{E}}^4{\underset{\_}{a}}^6-16{\underset{\_}{E}}^2{\underset{\_}{a}}^4+8{\underset{\_}{a}}^2)=0,$

где подчёркнутые параметры являются безразмерными в единицах Энона, определённых в виде $\underset{\_}{E}=E{r}_V/(G{M}_0)$, ${\underset{\_}{L}}_c=L_c/\sqrt{GM{r}_V}$ и $\underset{\_}{a}=a/r_V=3\pi /16$.

Применения

Модель Пламмера позволяет представить наблюдаемые профили плотности звёздных скоплений, хотя быстрое снижение плотности на больших расстояниях ($\rho \to r^{-5}$) не является пригодным для данных целей.

Поведение плотности вблизи центра системы не соответствует наблюдаемым характеристикам эллиптических галактик, в которых плотность к центру растёт сильнее.

Простота, с которой можно применить модель Пламмера в методе Монте-Карло, сделала модель Пламмера очень популярной в рамках моделирования задачи N тел, несмотря на недостаточный реализм модели.