Модулярная решётка

Модулярная решётка (дедекиндова решётка) — решётка, в которой каждая пара элементов $a,b\in L$ модулярна, то есть справедлив закон модулярности — квазитождество:

$\mathrm{\forall }x\in L:x⩽b\Rightarrow x\vee (a\wedge b)=(x\vee a)\wedge b$.

Важнейший пример модулярной решётки — решётка подпространств векторного пространства; также модулярны решётка нормальных подгрупп группы, решётка идеалов кольца.

Любая дистрибутивная решётка является модулярной, обратное неверно: ромб (диамант) — пример модулярной решётки, которая не является дистрибутивной.

$N_5$ — наименьшая немодулярная решётка

Наименьшая немодулярная решётка — пятиэлементный пентагон $N_5$, любая немодулярная решётка содержит его в качестве подрешётки.

В модулярных решётках справедлива теорема об изоморфизмах интервалов: для любых двух элементов модулярной решётки $a$ и $b$ интервалы $[a\wedge b,b]$ и $[a,a\vee b]$ изоморфны, прямое отображение: $\varphi (x)=x\vee a$, обратное — $\psi (y)=y\wedge b$.

Немодулярная решётка может содержать элементы, удовлетворяющие закону модулярности. Элемент $a$ называется левомодулярным, если для любого элемента $b$ пара $a,b$ модулярна.

Элемент $b$ называется правомодулярным, если для любого элемента $a$ пара $a,b$ модулярна.

Закон модулярности и некоторые его следствия впервые установлены Рихардом Дедекиндом в 1894 году.

Литература

• Шаблон:Из
• Шаблон:Книга:Общая алгебра
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга