Моносплайн

Моносплайн — вид сплайна, сконструированный из степенной функции $x^m$ и полиномиального сплайна степени $m-1$, получивший распространение в задачах поиска наилучших квадратурных формул для дифференцируемых функцийШаблон:Sfn и ряде других приложений; считаются удобными для компьютерных реализацийШаблон:Sfn.

Формально, для заданного целого числа $m$, множества узлов $\mathrm{\Delta }=(x_1<x_2<\dots <x_k)$ и вектора гладкости $𝔐=(m_1,\dots ,m_k)$ ($1⩽m_i⩽m$ для всех $i=1,\dots ,k$), класс моносплайнов степени $m$ определяется какШаблон:Sfn:

$ℳ𝒮(P_{m-1},𝔐,\mathrm{\Delta })=\{\frac{x^m}{m!}+s(x)\mid s\in 𝒮(P_{m-1},𝔐,\mathrm{\Delta })\}$,

где $𝒮(P_{m-1},M,\mathrm{\Delta })$ — класс полиномиальных сплайнов степени $m-1$ над множеством узлов $\mathrm{\Delta }$ и вектором гладкости $𝔐$ (что означает равенство в $i$-м узле производных стыкующихся многочленов вплоть до $m_i$-й степени включительно).

Многие свойства моносплайнов наследуются от полиномиальных сплайнов, в частности, для них имеет место следующий результат: если $f$ — моносплайн класса $ℳ𝒮(P_{m-1},𝔐,\mathrm{\Delta })$, то его правосторонняя производная $f{\text{'}}_{+}$ — моносплайн класса $ℳ𝒮(P_{m-2},{𝔐}^{\prime },\mathrm{\Delta })$, где ${𝔐}^{\prime }=\{\min (m_1,m-2),\dots ,\min (m_k,m-2)\}$. Для переноса ряда свойств с полиномиальных сплайнов на моносплайны разработаны специальные техники, в частности, для определения кратности нулейШаблон:Sfn.

Пространство моносплайнов $ℳ𝒮(P_{m-1},𝔐,\mathrm{\Delta })$ выпукло, при этом не является линейным (в отличие от пространств полиномиальных сплайнов).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:МатЭнц