Неравенство Бернулли

Нера́венство Берну́лли утверждает: если вещественное число $x>-1$, то:

$(1+x{)}^n⩾1+nx$ для всех натуральных $n⩾1.$

Доказательство

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

$(1+x{)}^{n+1}=(1+x)(1+x{)}^n⩾(1+x)(1+nx)⩾(1+nx)+x=1+(n+1)x$,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли

Обобщенное неравенство Бернулли утверждаетШаблон:Sfn, что при $x>-1$ и $n\in ℝ$:

• если $n\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (1;+\mathrm{\infty })$, то $(1+x{)}^n⩾1+nx$
• если $n\in (0;1)$, то $(1+x{)}^n⩽1+nx$
• при этом равенство достигается в двух случаях: $[\begin{array}{c}\mathrm{\forall }x\ne -1,n=0,n=1\\ \mathrm{\forall }n\ne 0,x=0\end{array}$

Замечания

• Неравенство также справедливо для $x⩾-2$ (при $n\in {\mathbb{N}}_0$), если исключить случай, когда получается ноль в степени ноль. Доказательство для случая $x\in [-2,-1)$ можно провести тем же методом математической индукции:

$(1+x{)}^{n+1}+(1+x{)}^n=(1+x{)}^n(1+x+1)⩾(1+nx)(1+x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x).$

Так как при $x\in [-2,-1)$ выполняется $(1+x{)}^n⩽1⩽1+nx(1+x)$, то $(1+x{)}^{n+1}⩾1+(n+1)x$.

• Неравенство Бернулли также может быть представлено в виде:

$(1+x{)}^n>1+nx,\text{ где }\{\begin{array}{c}x>-1\\ x\ne 0\\ n>1,n\in \mathbb{N}\end{array}.$

Литература

• Шаблон:Книга