Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу
Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу — это неравенство
между Шаблон:Не переведено 5 компактных комплексных поверхностей общего вида. Главный интерес в этом неравенстве — возможность ограничить возможные топологические типы рассматриваемого вещественного 4-многообразия. Неравенство доказали независимо ЯуШаблон:SfnШаблон:Sfn и МиаокиШаблон:Sfn, после того как Ван де ВенШаблон:Sfn и Фёдор БогомоловШаблон:Sfnдоказали более слабые версии неравенства с константами 8 и 4 вместо 3.
Борель и Хирцебрух показали, что неравенство нельзя улучшить, найдя бесконечно много случаев, в которых выполняется равенство. Неравенство неверно для положительных характеристик — ЛенгШаблон:Sfn и ИстонШаблон:Sfn привели примеры поверхностей с характеристикой p, такие как Шаблон:Не переведено 5, для которых неравенство не выполняется.
Формулировка неравенства
Обычно неравенство Богомолова — Миаоки — Яу формулируется следующим образом.
Пусть X — компактная комплексная поверхность Шаблон:Не переведено 5, и пусть и — первый и второй Шаблон:Не переведено 5 комплексного касательного расслоения поверхности. Тогда
Более того, если выполняется равенство, то X является фактором шара. Последнее утверждение является следствием подхода Яу в дифференциальной геометрии, который основывается на его разрешении Шаблон:Не переведено 5.
Поскольку является топологической характеристикой Эйлера, а по Шаблон:Не переведено 5 , где является сигнатурой формы пересечений на второй когомологии, неравенство Богомолова — Миаоки — Яу можно переписать как ограничение на топологический тип поверхности общего вида:
и более того, если , универсальное покрытие является шаром.
Вместе с Шаблон:Не переведено 5 неравенство Богомолова — Миаоки — Яу устанавливает границы при поиске комплексных поверхностей. Рассмотрение топологических типов, которые могут быть реализованы как комплексные поверхности, называется Шаблон:Не переведено 5. См. статью Шаблон:Не переведено 5.
Поверхности с c12 = 3c2
Пусть X — поверхность общего типа с , так что в неравенстве Богомолова — Миаоки — Яу имеет место равенство. Для таких поверхностей ЯуШаблон:Sfn доказал, что X изоморфно фактору единичного шара в по бесконечной дискретной группе. Примеры поверхностей, для которых выполняется равенство, найти трудно. БорельШаблон:Sfn показал, что существует бесконечно много значений , для которых поверхности существуют. МамфордШаблон:Sfn нашёл ложную проективная плоскость с , которая имеет минимальное возможное значение, поскольку всегда делится на 12, а Прасад и ЙенШаблон:SfnШаблон:Sfn, а также Картрайт и СтегерШаблон:Sfn показали, что существует ровно 50 ложных проективных поверхностей.
Бартель, Хирцебрух и ХёферШаблон:Sfn дали метод поиска примеров, который, в частности, даёт поверхности X с . ИсидаШаблон:Sfn нашёл фактор такой поверхности с и если взять неразветвлённые покрытия этого фактора, получим примеры с для любого положительного k. Картрайт и Стегер Шаблон:Sfn нашли примеры с для любого положительного целого n.