Неравенство Мюрхеда

Неравенство Мюрхеда позволяет сравнивать значения некоторых симметрических многочленов на одном и том же наборе неотрицательных значений аргументов.

Вводные определения

Пусть $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$ — упорядоченный набор целых неотрицательных чисел ${\alpha }_1⩽{\alpha }_2⩽\dots ⩽{\alpha }_n$. Через $T_{\alpha }(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ будем обозначать симметрический многочлен от n переменных, который есть по определению сумма одночленов вида $x_{\pi (1)}^{{\alpha }_1}{x}_{\pi (2)}^{{\alpha }_2}\cdots x_{\pi (n)}^{{\alpha }_n}$ по всем перестановкам $\pi$ порядка n.

Неравенство Мюрхеда

Пусть $\alpha =({\alpha }_1^{},...,{\alpha }_n^{})$ и $\beta =({\beta }_1^{},...,{\beta }_n^{})$ — два набора показателей с равной суммой такие, что $\alpha$ мажорирует $\beta$, то при всех неотрицательных $x_1,...,x_n$ выполняется неравенство:

$T_{\alpha }(x_1,\dots ,x_n)⩾T_{\beta }(x_1,\dots ,x_n).$

См. также

• Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
• Дважды стохастическая матрица

Ссылки

• Неравенство Мюрхеда Шаблон:Wayback на сайте problems.ru
• Шаблон:Книга