Неравенство Пу

Неравенство Пу даёт нижнюю оценку на площадь проективной плоскости с римановой метрикой через длину кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой. Является одним из фундаментальных утверждений систолической геометрии.

Неравенство доказал Баомин Пу в своей диссертации защищённой под руководством Чарльза Левнера

Формулировки

Оригинальная

Пусть $g$ есть риманова метрика на вещественной проективной плоскости $ℝ{\mathrm{P}}^2$. Тогда

$S\ge \frac{2}{\pi }\cdot {\ell }^2,$

где $S$ — площадь $(ℝ{\mathrm{P}}^2,g)$, a $\ell$ — его ситоль, то есть длина кратчайшей нестягиваемой кривой в $(ℝ{\mathrm{P}}^2,g)$.

Более того равенство достигается только для канонической метрики с точностью до умножения на положительную постоянную.

Через филинг-объём

Филинг окружности длины $2\cdot \pi$ диском имеет площадь не меньше чем площадь полусферы. Более того, в случае равенства диск изометричен полусфере.

Замечание

• Гипотеза Громова состоит в том, что то же неравенство выполняется для произвольных филингов (не обязательно гомеоморфных диску).

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite encyclopedia
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья