Неравенство Фробениуса

В линейной алгебре неравенством Фробе́ниуса называют следующее неравенство для рангов матриц:

$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}AB+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}BC⩽\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}ABC+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}B.$

В этом неравенстве размерности матриц $A$, $B$ и $C$ должны позволять существование матрицы $ABC$ (т. е. эти матрицы имеют размерности $i\times j$, $j\times k$ и $k\times l$ соответственно).

Неравенство названо в честь открывшего его математика Ф. Г. Фробениуса.

Первое доказательство

Если $U\subset V$ и $X:V\to W$, то $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{X}_U⩽\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}X=\dim V-\dim \mathrm{I}\mathrm{m}X$.

Запишем это неравенство для $U=\mathrm{I}\mathrm{m}BC,V=\mathrm{I}\mathrm{m}B,X=A$:

$\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{A}_{\mathrm{I}\mathrm{m}B}=\dim \mathrm{I}\mathrm{m}B-\dim \mathrm{I}\mathrm{m}AB$

Ясно также, что $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{A}_{\mathrm{I}\mathrm{m}BC}=\dim \mathrm{I}\mathrm{m}BC-\dim \mathrm{I}\mathrm{m}ABC$Шаблон:Sfn.

Второе доказательство

Рассмотрим блочную матрицу

$M=\left(\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& ABC\end{array}\right)$,

применим к матрице $M$ цепочку элементарных преобразований, они, как известно, не изменяют ранг матрицы.

$M=\left(\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& ABC\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc}B& 0\\ AB& ABC\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc}B& -BC\\ AB& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc}BC& B\\ 0& AB\end{array}\right)$

Тогда $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}B+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}ABC=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}M=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left(\begin{array}{cc}BC& B\\ 0& AB\end{array}\right)⩾\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left(\begin{array}{cc}BC& 0\\ 0& AB\end{array}\right)=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}AB+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}BC$

Литература

• Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
• Шаблон:Книга