Неравенство Харди

Нера́венство Ха́рди — математическое неравенство, названное в честь автора, английского математика Г. Х. Харди. Впервые опубликовано и доказано в 1920 году в заметке Харди, посвящённой упрощению доказательства теоремы Гильберта о двойных рядахШаблон:Sfn.

Формулировка

Приведём современный вариант неравенства; он несколько отличается от приведенного в первой публикации Харди — в 1926 году Эдмунд Ландау уточнил коэффициент в правой частиШаблон:Sfn.

Шаблон:Рамка Пусть $a_1,a_2,a_3\dots$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел, не все из которых равны нулю. Тогда для любого вещественного числа $p>1$ имеет место неравенство:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)}^p<{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^p.$

|} Константа справа ${\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p$ является оптимальной, то есть в случае любого её уменьшения неравенство может не выполнятьсяШаблон:Sfn.

Интегральная версия

Шаблон:Рамка Если $f(x)$ — неотрицательная интегрируемая функция, тоШаблон:Sfn:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt)}^{p}dx⩽{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x{)}^{p}dx.$

|} Равенство левой и правой части возможно тогда и только тогда, когда функция $f(x)$ почти всюду равна нулю.

Замечания

Из неравенства Харди можно вывести как следствие неравенство Карлемана.

У интегрального неравенства Харди имеются многочисленные обобщенияШаблон:Sfn.

Литература

• Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., М.: Наука, 1977, 456 с.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:CitationCS1 maint: Uses editors parameter (link) Шаблон:Citation.

Ссылки

• Шаблон:Springer