Неравенство Чебышёва для сумм

Неравенство Чебышёва для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если

a_{1} ⩾ a_{2} ⩾ \dots ⩾ a_{n}

и

b_{1} ⩾ b_{2} ⩾ \dots ⩾ b_{n},

то

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} ⩾ (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}) (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{k}) .

Аналогично, если

a_{1} ⩾ a_{2} ⩾ \dots ⩾ a_{n}

и

b_{1} ⩽ b_{2} ⩽ \dots ⩽ b_{n},

то

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} ⩽ (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}) (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{k}) .

Доказательство

Неравенство Чебышёва для сумм легко выводится из перестановочного неравенства:

Предположим, что

a_{1} ⩾ a_{2} ⩾ \dots ⩾ a_{n}

и

b_{1} ⩾ b_{2} ⩾ \dots ⩾ b_{n} .

В виду перестановочного неравенства выражение

a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n}

является максимально возможным значением скалярного произведения рассматриваемых последовательностей. Суммируя неравенства

a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}

a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} ⩾ a_{1} b_{2} + a_{2} b_{3} + \dots + a_{n} b_{1}

a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} ⩾ a_{1} b_{3} + a_{2} b_{4} + \dots + a_{n} b_{2}

⋮

a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} ⩾ a_{1} b_{n} + a_{2} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n - 1}

получаем

n (a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n}) ⩾ (a_{1} + \dots + a_{n}) (b_{1} + \dots + b_{n});

или, разделив на $n^{2}$ :

\frac{(a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n})}{n} ⩾ \frac{(a_{1} + \dots + a_{n})}{n} \cdot \frac{(b_{1} + \dots + b_{n})}{n} .

Существует также непрерывный аналог неравенства Чебышёва для сумм:

Если f(x) и g(x) — это вещественные интегрируемые на [0,1] функции, возрастающие или убывающие одновременно, то

\int_{0}^{1} f (x) g (x) d x ⩾ \int_{0}^{1} f (x) d x \int_{0}^{1} g (x) d x .