Неравенство Швейцера

Неравенство Швейцера гласит следующее

Шаблон:Рамка Для любых вещественных чисел $x_1,x_2,\dots ,x_n$, принадлежащих отрезку $[m;M]$, где $M⩾m>0$, имеет место неравенство

$(x_1+x_2+\cdots +x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n})⩽\frac{(m+M{)}^2}{4mM}\cdot n^2.$

Более того, если $n$ нечётно, то

$(x_1+x_2+\cdots +x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n})⩽\frac{(m+M{)}^2}{4mM}\cdot n^2-\frac{(m-M{)}^2}{4mM}.$

История

Это неравенство было опубликовано в 1914 г. в статье венгерского математика Пала Швейцера (Pál Schweitzer), которого в некоторых публикациях путают с другим венгерским математиком, Миклошом Швейцером, родившимся в 1923 году. Имеется английский перевод этой статьи в приложении к работе. Поскольку до появления английского перевода со статьёй Швейцера мало кто был знаком, неравенство (вторую его часть) обычно связывают с именем Александру Йоана Лупаша, который доказал это неравенство почти на 60 лет позже Швейцера.

Равносильные неравенства

• (В. Серпинский) Для любых положительных чисел $x_1,x_2,\dots ,x_n$ верно

$(x_1+x_2+\dots +x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n})⩽{\left(\frac{A}{G}\right)}^n{n}^2,$

где через A и G обозначены соответственно среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Следствия

• (О. Шиша) Для любых вещественных чисел $x_1,x_2,\dots ,x_n$, принадлежащих отрезку $[m;M]$, где $0<m⩽M$, верно неравенство:

$\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}-\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}\le (M-m{)}^2.$

• (Z.-C. Hao). Вещественные числа $x_1,x_2,\dots ,x_n$ принадлежат отрезку $[m;M]$, где $0<m⩽M$. При условии $0<q⩽p<1$ и $p+q=1$ имеет место неравенство:

${(x_1+x_2+\dots +x_n)}^p{(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n})}^q⩽\frac{n(pM+qm)}{m^q{M}^q}.$

Обобщения

• Шаблон:Не переведено

Источник

• Шаблон:Статья