Неравенство Шура

В математике неравенство Шура, названное в честь математика Исая Шура, утверждает, что для произвольных неотрицательных действительных чисел $x,y,z$ и $t$ выполняется неравенство:

$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-x)(y-z)+z^t(z-x)(z-y)⩾0$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y=z$ или два числа среди них равны между собой, а третье равно нулю. Если $t$ будет натуральным и чётным, то неравенство будет выполняться для всех действительных $x,y,z$.

Самым распространённым и известным применением неравенства является частный случай, когда $t=1$:

$x^3+y^3+z^3+3xyz⩾x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}x+z^{2}y$

Доказательство

Поскольку неравенство симметрично относительно переменных $x,y,z$, то без ограничения общности можно считать, что $x⩾y⩾z$. Тогда неравенство Шура становится равносильным следующему неравенству:

$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(z-x)(z-y)⩾0$

которое выполняется потому, что $x^t(x-z)⩾x^t(y-z)⩾y^t(y-z)$. Также из этого рассуждения видно, что равенство возможно только при $x=y=z$ или $x=y$ и $z=0$. Учитывая симметричные данному варианты можно получить, что в исходном неравенстве равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y=z$ или двое из чисел $x,y,z$ равны между собой, а третье равно нулю, что и требовалось доказать.

Обобщения

Обобщением неравенства Шура является следующее неравенство: для всех действительных $x,y,z$ и неотрицательных действительных $a,b,c$:

$a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)⩾0$

если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• $x⩾y⩾z$ и $a⩾b$
• $x⩾y⩾z$ и $c⩾b$
• $x⩾y⩾z$ и $a+c⩾b$
• $x⩾y⩾z⩾0$ и $ax⩾by$
• $x⩾y⩾z⩾0$ и $cz⩾by$
• $x⩾y⩾z⩾0$ и $ax+cz⩾by$
• $a,b,c$ - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• $a,b,c$ - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• $ax,by,cz$ - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• $ax,by,cz$ - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• Существует выпуклая или монотонная функция $f:𝕀⟶{ℝ}^{\mathbb{+}}$ , где $𝕀$- это интервал, который содержит числа $x$, $y$, $z$, причём $a=f(x)$, $b=f(y)$, $c=f(z)$

Другое возможное обобщение утверждает, что если неотрицательные действительные числа $x\ge y\ge z\ge v$ и положительное действительное число $t$ таковы, что $x+v\ge y+z$, то:

$x^t(x-y)(x-z)(x-v)+y^t(y-x)(y-z)(y-v)+z^t(z-x)(z-y)(z-v)+v^t(v-x)(v-y)(v-z)\ge 0.$