Неравенство Эрдёша — Морделла

Неравенство Эрдёша — Морделла (неравенство Эрдёша — Морделла — Барроу) — планиметрическое утверждение, устанавливает связь между расстояниями от точки внутри треугольника до его сторон с расстояниями от той же точки до вершин треугольника.

Неравенство

Пусть точка $M$ лежит внутри треугольника $A B C$ . Обозначим расстояния от точки $M$ до сторон $B C, C A, A B$ треугольника через $d_{a}, d_{b}, d_{c}$ , а расстояния от точки $M$ до вершин $A, B, C$ через $R_{a}, R_{b}, R_{c}$ . Тогда

R_{a} + R_{b} + R_{c} ⩾ 2 (d_{a} + d_{b} + d_{c}) .

История

Эрдёш выдвинул это утверждение в качестве гипотезы в 1935 году Шаблон:Harv. Через два года доказательство дал Морделл Шаблон:Harv. Однако его доказательство было весьма сложным. Более простые доказательства даны в Шаблон:Harv, Шаблон:Harv и Шаблон:Harv.

Ссылки

Шаблон:Rq

Неравенство Эрдёша — Морделла