Нонамино

Вариант судоку с регионами в форме нонамино

Нонамино́ (или 9-мино) — девятиклеточные полимино, или многоугольники, составленные из 9 равных квадратов, соединённых сторонамиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Если не различать фигуры, получаемые друг из друга поворотами и отражениями, то существует 1285 нонаминоШаблон:SfnШаблон:Sfn. Если условиться различать зеркальные отражения, число нонамино возрастает до 2500, а если различать и вращения — то до 9910Шаблон:Sfn.

Подмножества

37 из 1285 нонамино содержат в себе отверстия. Одно из нонамино содержит отверстие в форме домино; в полимино меньших размеров встречаются лишь одиночные отверстия.

Симметрии

1285 двусторонних нонамино можно разбить на несколько подмножеств по их группам симметрииШаблон:Sfn:

• 1196 нонамино асимметричны — их группа симметрии тривиальна;
• 38 нонамино имеют одну ось симметрии, параллельную рёбрам квадратного паркета, и их группа симметрии состоит из двух элементов — тождественного преобразования и отражения;

• 26 нонамино имеют одну диагональную ось симметрии, и их группа симметрии также состоит из двух элементов;

• 19 нонамино имеют центральную симметрию второго порядка, и их группа симметрии состоит из двух элементов — тождественного преобразования и поворота на 180°;

• 4 нонамино имеют две взаимно перпендикулярные оси симметрии, параллельные сторонам полимино; их группа симметрий состоит из четырёх элементов — тождественного преобразования, двух отражений и поворота на 180°;

• 2 нонамино имеют четыре оси симметрии (две параллельные сторонам полимино и две диагональные) и центральную симметрию четвёртого порядка. Их группа симметрий состоит из 8 элементов.

В отличие от октамино, среди нонамино нет фигур с центральной симметрией порядка 4 или фигур с двумя диагональными осями симметрии.

Число двусторонних или свободных нонамино (фигур, которые можно поворачивать и переворачивать), таким образом, равно

$1196+38+26+19+4+2=1285,$

число односторонних нонамино (фигур, которые можно поворачивать, но нельзя переворачивать) можно найти по формуле

$1196\cdot 2+38\cdot 1+26\cdot 1+19\cdot 2+4\cdot 1+2\cdot 1=2500,$

а число фиксированных нонамино (фигур, которые нельзя ни поворачивать, ни переворачивать) — по формуле

$1196\cdot 8+38\cdot 4+26\cdot 4+19\cdot 4+4\cdot 2+2\cdot 1=9910.$

Только одно нонамино является многоугольником, длины всех сторон которого равны единице (до нонамино этим свойством обладают мономино, Шаблон:Mvar-пентамино и одно из 369 октамино).

Замощение плоскости

1050 двусторонних нонамино (все, кроме 235, в число которых входят и 37 «дырявых» нонамино) могут покрыть плоскостьШаблон:Sfn; 1048 из этих 1050 нонамино либо удовлетворяют критерию Конвея самостоятельно, либо способны сформировать «заплатку» из двух копий нонамино, удовлетворяющую критерию Конвея. Два исключительных нонамино, которые покрывают плоскость, несмотря на отрицательный результат проверки по критерию Конвея, показаны на рисунке справа; Шаблон:Num1 — наименьшее число, для которого у полимино существуют подобные исключенияШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Составление конфигураций из нонамино

37 нонамино содержат «отверстия», поэтому из всех 1285 нонамино нельзя сложить ни одного прямоугольникаШаблон:Sfn. Тем не менее, в 1972—1973 годах Д. Бёрд (David Bird) построил несколько симметричных конфигураций с помощью всех 1285 нонамино; два построения умещались в квадрате Шаблон:TimesШаблон:Sfn. В 2005 году Peter Esser построил из всех 1285 нонамино пять конгруэнтных прямоугольников Шаблон:Times, каждый из которых содержал 12 симметрично расположенных отверстий общей площадью в 16 клеток; он же построил из 1248 односвязных нонамино 16 прямоугольников Шаблон:Times. Patrick Hamlyn построил из 1248 односвязных нонамино 48 прямоугольников Шаблон:Times; не исключена возможность построения 96 одинаковых прямоугольников.

Псевдононамино

Псевдополимино — обобщение полимино, набор полей бесконечной шахматной доски, которые может обойти корольШаблон:Sfn. Существует Шаблон:Num двусторонних псевдононамино, Шаблон:Num односторонних псевдононамино и Шаблон:Num фиксированных псевдононамино.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Шаблон:Полиформы